Математика · Геометрія
Циліндр, конус і куля: поверхні, об’єми, розгортки й перерізи
Тіла обертання задаються радіусом і висотою, а більшість задач розв’язують через осьовий переріз: у циліндрі він — прямокутник, у конусі — рівнобедрений трикутник, у кулі — круг. Тому спершу будують переріз, а потім працюють із плоскою фігурою.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Циліндр і конус
циліндр: V = πR²H, S_біч = 2πRH, S_повн = 2πR(R + H) конус: V = ⅓ · πR²H, S_біч = πRL, S_повн = πR(R + L), L² = R² + H²
Розгортка бічної поверхні циліндра — прямокутник зі сторонами 2πR і H. Розгортка бічної поверхні конуса — круговий сектор із радіусом L, довжина дуги якого дорівнює довжині кола основи 2πR; кут сектора дорівнює 360° · R/L. Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2R і бічними сторонами L; якщо він рівносторонній, то L = 2R.
Куля й сфера
V = ⁴⁄₃ · πR³, S_сфери = 4πR²
Переріз кулі площиною — круг. Якщо відстань від центра кулі до площини дорівнює d, то радіус перерізу r = √(R² − d²); найбільший переріз (d = 0) має радіус кулі. Куля вписана в куб із ребром a, коли її радіус R = a/2, а описана навколо куба — коли R = a√3/2. Якщо всі лінійні розміри збільшити в k разів, об’єм зросте в k³, а площа поверхні — в k².
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами 6 і 10, де 10 — висота. Знайдіть об’єм і повну поверхню.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Діаметр основи дорівнює 6, тож R = 3, H = 10.
- V = π · 9 · 10 = 90π.
- S_повн = 2π · 3 · (3 + 10) = 78π.
Відповідь: V = 90π; S_повн = 78π.
Приклад 2
Твірна конуса дорівнює 13, висота — 12. Знайдіть радіус основи, об’єм, повну поверхню та кут розгортки бічної поверхні.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- R = √(13² − 12²) = 5.
- V = ⅓ · π · 25 · 12 = 100π; S_повн = π · 5 · (5 + 13) = 90π.
- Кут сектора: 360° · 5/13 = 1800°/13 ≈ 138,5°.
Відповідь: R = 5; V = 100π; S_повн = 90π; кут розгортки ≈ 138,5°.
Приклад 3
Кулю радіуса 13 перетнули площиною на відстані 5 від центра. Знайдіть радіус і площу перерізу.
Типові помилки
- Плутати висоту H і твірну L конуса.
- Забувати множник ⅓ в об’ємі конуса.
- Плутати діаметр осьового перерізу з радіусом основи.
- Брати радіус перерізу кулі рівним радіусу кулі, не врахувавши відстань до центра.
- Вважати, що куля з об’ємом у 27 разів більшим має й радіус у 27 разів більший: радіус зростає лише втричі.