Математика
Рівняння та нерівності
Рівняння на НМТ різні за виглядом, але план розв’язання один: знайти область допустимих значень, звести рівняння до відомого типу рівносильними перетвореннями і перевірити корені, якщо перетворення могло їх додати.
Авторський матеріал Тями · оновлено
План для будь-якого рівняння
- Запиши обмеження: знаменник ≠ 0, підкореневий вираз парного степеня ≥ 0, аргумент логарифма > 0.
- Спрощуй рівносильно: переносити доданки, множити на ненульове число, розкладати на множники.
- Якщо підносив до квадрата або множив на вираз зі змінною, перевір кожен корінь підстановкою.
Не діли обидві частини на вираз зі змінною: з x² = 3x так губиться корінь x = 0.
Квадратні рівняння
ax² + bx + c = 0, D = b² − 4ac, x = (−b ± √D) / (2a)
Якщо D > 0 — два корені, D = 0 — один, D < 0 — дійсних коренів немає. За теоремою Вієта для зведеного рівняння x² + px + q = 0 сума коренів дорівнює −p, а добуток — q. Вієта швидко перевіряє обчислення.
Нерівності й метод інтервалів
Нерівність переносять так, щоб праворуч був нуль, а ліворуч — добуток або частка множників. Нулі чисельника й знаменника розбивають пряму на проміжки, на кожному з яких знак сталий. Знак визначають підстановкою будь-якого числа з проміжку.
- нулі знаменника завжди виколоті;
- у нестрогій нерівності нулі чисельника входять у відповідь;
- множник у парному степені не змінює знак при переході через свій нуль;
- множення на від’ємне число змінює знак нерівності.
Показникові, логарифмічні й тригонометричні
При однаковій основі a > 0, a ≠ 1 рівність aᶠ = aᵍ означає f = g, а logₐf = logₐg — f = g > 0. У нерівностях важлива основа: якщо a > 1, знак зберігається, якщо 0 < a < 1 — змінюється на протилежний.
sin x = a, |a| ≤ 1: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn cos x = a, |a| ≤ 1: x = ± arccos a + 2πn tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть нерівність (x − 1)(x + 2) / (x − 4) ≤ 0.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Нулі чисельника: x = 1 і x = −2 (входять у відповідь). Нуль знаменника x = 4 виколотий.
- Знаки на проміжках: (−∞; −2) — мінус (x = −3 дає 4/(−7)); (−2; 1) — плюс; (1; 4) — мінус; (4; +∞) — плюс.
- Беремо проміжки зі знаком «мінус» разом із нулями чисельника.
Відповідь: x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; 4).
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння √(x + 2) = x.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Права частина має бути невід’ємною: x ≥ 0.
- Підносимо до квадрата: x + 2 = x², тобто x² − x − 2 = 0, звідки x = 2 або x = −1.
- x = −1 не задовольняє умову x ≥ 0. Перевірка x = 2: √4 = 2.
Відповідь: 2.
Приклад 3
Розв’яжіть рівняння log₃(x − 1) = 2.
Типові помилки
- Ділити рівняння на вираз зі змінною і втрачати корені.
- Не перевіряти корені після піднесення до квадрата.
- Зафарбовувати в методі інтервалів нулі знаменника.
- Не змінювати знак нерівності при основі степеня чи логарифма від 0 до 1.