Математика
Числа та вирази
Ця тема — фундамент усього тесту: майже кожна задача НМТ з математики зводиться до дій із дробами, відсотками, степенями чи логарифмами. Нижче — правила, без яких не обійтися, і приклади з повним розв’язанням.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Які бувають числа
Натуральні числа — 1, 2, 3, …; цілі додають до них нуль і від’ємні числа. Раціональне число можна записати дробом m/n, де m ціле, а n натуральне. Ірраціональні числа, як-от √2 або π, дробом не записуються; разом із раціональними вони утворюють множину дійсних чисел.
Скінченний або періодичний десятковий дріб — завжди раціональне число: 0,(3) = 1/3.
- на 2 — остання цифра парна;
- на 3 — сума цифр ділиться на 3;
- на 4 — число з двох останніх цифр ділиться на 4;
- на 5 — остання цифра 0 або 5;
- на 9 — сума цифр ділиться на 9.
Для двох натуральних чисел НСД(a; b) · НСК(a; b) = a · b. Це зручно для перевірки: НСД(12; 18) = 6, НСК(12; 18) = 36, і 6 · 36 = 12 · 18 = 216.
Відсотки та пропорції
Відсоток — сота частина числа. p % від a дорівнює a · p / 100. Щоб знайти число за його частиною, ділимо частину на частку: якщо 30 % числа дорівнюють 12, то число дорівнює 12 : 0,3 = 40.
після зміни на p %: a · (1 ± p/100) після n однакових змін: a · (1 ± p/100)ⁿ
Послідовні відсоткові зміни множаться, а не додаються.
Пропорція a : b = c : d рівносильна рівності ad = bc. Якщо величини прямо пропорційні, відношення зберігається; якщо обернено пропорційні — зберігається добуток.
Степені, корені й логарифми
| Правило | Приклад |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a ≠ 0 | 5⁻² = 1/25 |
| a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a > 0 | 27^(2/3) = 9 |
| √(a²) = |a| | √((−4)²) = 4 |
Логарифм logₐb — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b. Він існує лише за умов a > 0, a ≠ 1, b > 0.
logₐ(bc) = logₐb + logₐc logₐ(b/c) = logₐb − logₐc logₐbⁿ = n · logₐb logₐb = log_c b / log_c a
Формули скороченого множення
(a ± b)² = a² ± 2ab + b² a² − b² = (a − b)(a + b) a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
Ці формули працюють в обидва боки: розкривають дужки й розкладають на множники. Розклад потрібен, щоб скоротити дріб або розв’язати рівняння.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Товар подорожчав на 20 %, а потім подешевшав на 20 %. Як змінилася ціна порівняно з початковою?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Нехай початкова ціна дорівнює a. Після подорожчання вона стала 1,2a.
- Знижка на 20 % множить ціну на 0,8: 1,2a · 0,8 = 0,96a.
- 0,96a — це на 4 % менше за a.
Відповідь: ціна зменшилася на 4 %.
Приклад 2
Обчисліть 8^(2/3) + log₂32 − (1/3)⁻².
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
- log₂32 = 5, бо 2⁵ = 32.
- (1/3)⁻² = 3² = 9.
- 4 + 5 − 9 = 0.
Відповідь: 0.
Приклад 3
Спростіть вираз (a² − 9) / (a + 3) − a, якщо a ≠ −3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Додавати відсотки послідовних змін: +10 % і ще +10 % — це множник 1,1² = 1,21, тобто +21 %, а не +20 %.
- Писати √(a²) = a без модуля.
- Забувати умови існування логарифма: основа додатна й не дорівнює 1, аргумент додатний.
- Плутати (a − b)² з a² − b².
- Скорочувати доданки замість множників: (a + 3)/3 не дорівнює a.