Математика
Функції, похідна та інтеграл
Задачі про функції на НМТ перевіряють три вміння: читати графік, знаходити похідну й робити з неї висновки про функцію (зростання, екстремуми, дотична), а також рахувати площу через інтеграл.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Властивості функції
- область визначення — допустимі значення x;
- область значень — усі значення, яких набуває y;
- нулі — x, при яких f(x) = 0;
- парна функція: f(−x) = f(x), графік симетричний відносно осі Oy;
- непарна функція: f(−x) = −f(x), графік симетричний відносно початку координат;
- період T: f(x + T) = f(x) для всіх x з області визначення.
Основні графіки та їх перетворення
| Функція | Що треба пам’ятати |
|---|---|
| y = kx + b | пряма; k — кутовий коефіцієнт, b — точка перетину з Oy |
| y = ax² + bx + c | парабола з вершиною в x₀ = −b/(2a); при a > 0 гілки вгору |
| y = k/x | гіпербола; x ≠ 0 |
| y = aˣ | проходить через (0; 1); значення лише додатні |
| y = logₐx | проходить через (1; 0); x > 0 |
| y = sin x, y = cos x | період 2π; значення від −1 до 1 |
| y = tg x | період π |
y = f(x) + b зсуває графік уздовж Oy на b; y = f(x − a) — праворуч на a (при a > 0); y = −f(x) відбиває графік відносно Ox; y = f(−x) — відносно Oy.
Похідна
(C)′ = 0 (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ (sin x)′ = cos x (cos x)′ = −sin x (eˣ)′ = eˣ (ln x)′ = 1/x (u·v)′ = u′v + uv′ (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
f′(x₀) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці x₀. Рівняння дотичної: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Якщо f′(x) > 0 на проміжку, функція зростає; якщо f′(x) < 0 — спадає. Точка, де похідна змінює знак, — точка екстремуму.
Первісна та інтеграл
Первісна F для функції f — така функція, що F′(x) = f(x). Визначений інтеграл рахують за формулою Ньютона — Лейбніца і використовують для площі фігури під графіком.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Складіть рівняння дотичної до графіка f(x) = x² − 3x у точці x₀ = 2.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- f(2) = 4 − 6 = −2.
- f′(x) = 2x − 3, тож f′(2) = 1.
- y = −2 + 1 · (x − 2) = x − 4.
Відповідь: y = x − 4.
Приклад 2
Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(x) = x³ − 3x.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
- f′(x) > 0 при x < −1 і x > 1; f′(x) < 0 при −1 < x < 1.
Відповідь: зростає на (−∞; −1] і [1; +∞), спадає на [−1; 1].
Приклад 3
Обчисліть ∫₀² (3x² + 1) dx.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Первісна: F(x) = x³ + x.
Типові помилки
- Думати, що y = f(x − 2) зсуває графік ліворуч: мінус у дужках зсуває праворуч.
- Вважати точкою екстремуму будь-який нуль похідної: у y = x³ похідна в нулі дорівнює 0, але знак не змінюється.
- Забувати множник внутрішньої функції: (sin 3x)′ = 3cos 3x.
- Включати 0 в область значень показникової функції.