Математика · Геометрія

Стереометрія: об’єми й площі поверхонь призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі

Об’єм і площу поверхні тіла знаходять за готовою формулою, а складність задачі в тому, щоб з умови «дістати» потрібні елементи: висоту, апофему чи твірну. Майже завжди вони з’являються з прямокутного трикутника, який видно на перерізі або розгортці.

Авторський матеріал Тями · оновлено 1 жовтня 2026 р.

Многогранники

Тіло	Об’єм	Поверхня
прямокутний паралелепіпед з ребрами a, b, c	V = abc	S = 2(ab + bc + ac); діагональ d = √(a² + b² + c²)
куб із ребром a	V = a³	S = 6a²; діагональ a√3
призма	V = S_осн · H	S_біч = P · H (пряма призма), S = S_біч + 2S_осн
піраміда	V = ⅓ · S_осн · H	S_біч = ½ · P · m (правильна піраміда), S = S_біч + S_осн

У правильній піраміді основа — правильний многокутник, а вершина проєктується в його центр. Апофема m — висота бічної грані. Вона, висота піраміди й відрізок від центра основи до середини сторони утворюють прямокутний трикутник: m² = H² + r², де r — радіус вписаного в основу кола.

Тіла обертання

Тіло	Об’єм	Поверхня
циліндр (радіус R, висота H)	V = πR²H	S_біч = 2πRH; S = 2πR(R + H)
конус (радіус R, висота H, твірна L)	V = ⅓ · πR²H	S_біч = πRL; S = πR(R + L)
куля (радіус R)	V = ⁴⁄₃ · πR³	S = 4πR²

У конусі L² = R² + H². Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами 2R і H, осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2R і бічними сторонами L. Будь-який переріз кулі площиною — круг.

Якщо всі лінійні розміри тіла збільшити в k разів, то площі зростуть у k², а об’єми — у k³: подвоєний радіус кулі дає у 4 рази більшу поверхню й у 8 разів більший об’єм.

Розібрані приклади

Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.

Приклад 1
Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 3, 4 і 12. Знайдіть діагональ, об’єм і площу поверхні.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
1. d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
2. V = 3 · 4 · 12 = 144.
3. S = 2(3 · 4 + 4 · 12 + 3 · 12) = 2(12 + 48 + 36) = 192.
Відповідь: d = 13; V = 144; S = 192.
Приклад 2
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 6, а висота — 4. Знайдіть об’єм і площу повної поверхні.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
1. S_осн = 36, тому V = ⅓ · 36 · 4 = 48.
2. Відстань від центра основи до середини сторони дорівнює 3, тож апофема m = √(4² + 3²) = 5.
3. S_біч = ½ · P · m = ½ · 24 · 5 = 60.
4. S = 60 + 36 = 96.
Відповідь: V = 48; S = 96.
Приклад 3
Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною 10. Знайдіть об’єм і площу повної поверхні циліндра.

Типові помилки

Забувати множник ⅓ в об’ємі піраміди й конуса.
Підставляти в об’єм піраміди апофему чи бічне ребро замість висоти.
Плутати твірну L і висоту H конуса.
Плутати радіус і діаметр, особливо в об’ємі кулі.
Плутати бічну та повну поверхні: у повну входять і основи.
Змішувати одиниці: площі вимірюють у квадратних, а об’єми — у кубічних одиницях.