Математика
Геометрія: планіметрія і стереометрія
Геометричні задачі НМТ здебільшого розв’язуються кількома формулами: Піфагора, косинусів, площ і об’ємів. Головне — правильно побачити на рисунку прямокутний трикутник або подібні фігури.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Трикутник
- сума кутів — 180°;
- теорема Піфагора для прямокутного трикутника: c² = a² + b²;
- теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab·cos γ;
- теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R;
- площа: S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin γ;
- у подібних трикутників площі відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.
Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи.
Чотирикутники й коло
| Фігура | Площа |
|---|---|
| паралелограм | a·h = ab·sin α |
| ромб | d₁·d₂ / 2 |
| трапеція | (a + b)·h / 2 |
| круг | πR²; довжина кола 2πR |
Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий.
Координати й вектори
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) середина відрізка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2) a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ = |a⃗|·|b⃗|·cos φ
Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, і колінеарні, якщо їх координати пропорційні.
Об’єми тіл
| Тіло | Об’єм | Поверхня |
|---|---|---|
| прямокутний паралелепіпед | abc | 2(ab + bc + ac) |
| призма | S_осн·h | — |
| піраміда | ⅓·S_осн·h | — |
| циліндр | πR²h | бічна 2πRh |
| конус | ⅓·πR²h | бічна πRl |
| куля | ⁴⁄₃·πR³ | сфера 4πR² |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Знайдіть радіус описаного кола.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Гіпотенуза: √(36 + 64) = 10.
- Центр описаного кола — середина гіпотенузи, тому R = 10 : 2 = 5.
Відповідь: 5.
Приклад 2
Сторони трикутника дорівнюють 5, 7 і 8. Знайдіть кут, що лежить проти сторони 7.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- За теоремою косинусів: 49 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos γ.
- 80 cos γ = 40, cos γ = 1/2.
Відповідь: 60°.
Приклад 3
Радіус основи конуса 3 см, висота 4 см. Знайдіть об’єм і твірну.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Застосовувати теорему Піфагора до трикутника, який не є прямокутним.
- Забувати множник ⅓ в об’ємі піраміди й конуса.
- Плутати радіус і діаметр у формулах круга й кулі.
- Рахувати площу ромба як добуток діагоналей без ділення на 2.