Математика · Геометрія
Чотирикутники й многокутники: властивості, площі, вписані фігури
Щоб розв’язати задачу про чотирикутник, треба насамперед визначити його вид, бо кожен вид має свій набір властивостей діагоналей і кутів. Далі застосовують формули площ і, за потреби, умови вписаності й описаності.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Паралелограм і його види
| Фігура | Властивості | Площа |
|---|---|---|
| паралелограм | протилежні сторони паралельні й рівні, протилежні кути рівні, діагоналі діляться навпіл | S = a · h = ab · sin α |
| прямокутник | усі кути прямі, діагоналі рівні | S = ab |
| ромб | усі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні й є бісектрисами кутів | S = d₁d₂/2 = a² · sin α |
| квадрат | прямокутник і ромб одночасно | S = a² = d²/2 |
Ознака паралелограма: чотирикутник, діагоналі якого діляться навпіл у точці перетину, є паралелограмом. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники з катетами d₁/2 і d₂/2.
Трапеція
Трапеція має дві паралельні сторони (основи a і b) і дві непаралельні (бічні). Середня лінія паралельна основам і дорівнює їхній півсумі. У рівнобічній трапеції бічні сторони рівні, кути при основі рівні й діагоналі рівні.
m = (a + b)/2 S = (a + b)/2 · h = m · h
Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини меншої основи, відтинає на більшій основі відрізок (a − b)/2, де a — більша основа, b — менша.
Вписані й описані чотирикутники
- у чотирикутник можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні: a + c = b + d (ромб, квадрат); площа описаного многокутника S = p · r, де p — півпериметр, r — радіус вписаного кола;
- навколо чотирикутника можна описати коло, якщо суми протилежних кутів дорівнюють 180° (прямокутник, рівнобічна трапеція);
- навколо паралелограма коло описується лише тоді, коли він є прямокутником.
Многокутники
сума кутів опуклого n-кутника: 180° · (n − 2) кут правильного n-кутника: 180° · (n − 2)/n кількість діагоналей n-кутника: n(n − 3)/2
Правильний многокутник має рівні сторони й рівні кути; навколо нього можна описати коло й у нього можна вписати коло. Його площа S = ½ · P · r, де P — периметр, r — радіус вписаного кола. Правильний шестикутник зі стороною a складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною a, тому радіус описаного кола R = a, а площа S = 3√3 · a²/2.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Діагоналі ромба дорівнюють 12 і 16. Знайдіть сторону, площу й висоту ромба.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Діагоналі перпендикулярні й діляться навпіл, тому сторона — гіпотенуза трикутника з катетами 6 і 8: a = √(36 + 64) = 10.
- S = 12 · 16/2 = 96.
- Висота h = S/a = 96/10 = 9,6.
Відповідь: a = 10; S = 96; h = 9,6.
Приклад 2
Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 і 17, бічна сторона — 13. Знайдіть висоту й площу.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Висота, проведена з вершини меншої основи, відтинає на більшій основі відрізок (17 − 7)/2 = 5.
- h = √(13² − 5²) = √144 = 12.
- S = (7 + 17)/2 · 12 = 144.
Відповідь: h = 12; S = 144.
Приклад 3
У чотирикутник ABCD, описаний навколо кола, AB = 7, BC = 8, CD = 9. Знайдіть сторону AD і площу чотирикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 3.
Типові помилки
- Рахувати площу ромба як добуток діагоналей без ділення на 2.
- Вважати діагоналі прямокутника перпендикулярними: вони перпендикулярні лише в квадрата.
- Брати у площі паралелограма сусідню сторону замість висоти: S = a · h, а не S = a · b.
- Плутати середню лінію трапеції із сумою основ.
- Думати, що висота трапеції дорівнює бічній стороні: так лише в прямокутній трапеції.
- Плутати умови: для вписаного кола рівні суми протилежних сторін, для описаного — суми протилежних кутів дорівнюють 180°.
- Писати суму кутів многокутника як 180° · n замість 180° · (n − 2).