Математика · Геометрія
Коло й круг: кути, дотична, довжина дуги й площа сектора
У задачах про коло найчастіше потрібні лише кілька фактів: вписаний кут удвічі менший за центральний, дотична перпендикулярна до радіуса, а довжину дуги й площу сектора знаходять як частку від довжини кола й площі круга.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Елементи й формули
Коло — множина точок площини, рівновіддалених від центра; круг — частина площини, обмежена колом. Хорда, що проходить через центр, — діаметр (d = 2R). Частину круга, обмежену двома радіусами й дугою, називають сектором, а обмежену хордою й дугою — сегментом.
C = 2πR, S = πR² довжина дуги в n°: l = πRn/180 площа сектора з кутом n°: S = πR²n/360
Якщо кут виміряно в радіанах (φ), то l = R · φ, а S = R² · φ/2.
Кути в колі
| Кут | Чому дорівнює |
|---|---|
| центральний | дузі, на яку спирається |
| вписаний | половині дуги, на яку спирається (половині центрального кута) |
| вписані кути, що спираються на одну дугу | рівні між собою |
| вписаний кут, що спирається на діаметр | 90° |
| кут між дотичною й хордою, проведеною з точки дотику | половині дуги, яку стягує хорда |
Дотична, хорди, вписане й описане кола
- дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику;
- відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні; довжина дотичної з точки, що лежить на відстані d від центра, дорівнює √(d² − R²);
- якщо хорди AB і CD перетинаються в точці E, то AE · EB = CE · ED;
- радіус вписаного кола трикутника r = S/p, де p — півпериметр; у прямокутному трикутнику з катетами a, b і гіпотенузою c маємо r = (a + b − c)/2, а радіус описаного кола R = c/2.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Вписаний кут спирається на дугу 110°. Знайдіть вписаний і центральний кути, що спираються на цю дугу.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Центральний кут дорівнює дузі: 110°.
- Вписаний кут — половині дуги: 110° : 2 = 55°.
Відповідь: вписаний 55°, центральний 110°.
Приклад 2
Дотична до кола в точці A і хорда AB утворюють кут 35°. Знайдіть дугу AB і центральний кут AOB.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Кут між дотичною й хордою дорівнює половині дуги, яку стягує хорда, тому дуга AB = 2 · 35° = 70°.
- Центральний кут AOB дорівнює дузі: 70°.
- Перевірка: трикутник OAB рівнобедрений, кути при основі (180° − 70°)/2 = 55° = 90° − 35°, бо радіус OA перпендикулярний до дотичної.
Відповідь: дуга AB = 70°; ∠AOB = 70°.
Приклад 3
Типові помилки
- Вважати вписаний кут рівним центральному: він удвічі менший.
- Плутати довжину кола 2πR з площею круга πR² і діаметр із радіусом.
- Забувати множник 2: довжина дуги — це n/360 від 2πR, а не від πR.
- Думати, що дотична проходить через центр: вона перпендикулярна до радіуса в точці дотику.
- Вважати, що вписаний кут, який спирається на діаметр, дорівнює 180°: він прямий.