Математика · Геометрія
Призма й піраміда: площі поверхонь, об’єми, кути між елементами
Задачі про призми й піраміди зводяться до двох кроків: знайти висоту та площу основи, а потім скористатися готовою формулою об’єму чи поверхні. Висоту майже завжди видно з прямокутного трикутника, утвореного висотою, апофемою або бічним ребром та відрізком основи.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Призма
V = S_осн · H пряма призма: S_біч = P · H, S_повн = S_біч + 2S_осн
У прямій призмі бічні ребра перпендикулярні до основ і дорівнюють висоті. Правильна призма — пряма, з правильним многокутником в основі. Прямий паралелепіпед, основою якого є паралелограм, належить до прямих призм, а його об’єм дорівнює добутку площі основи на висоту.
Правильна піраміда
V = ⅓ · S_осн · H S_біч = ½ · P · m, S_повн = S_біч + S_осн
Вершина правильної піраміди проєктується в центр основи. Апофема m — висота бічної грані. Якщо R — радіус описаного, а r — вписаного кола основи, бічне ребро b, то виконуються співвідношення b² = H² + R², m² = H² + r² та b² = m² + (a/2)², де a — сторона основи.
| Кут | Як знайти |
|---|---|
| між бічним ребром і основою | tg = H/R |
| між бічною гранню й основою (двогранний кут) | tg = H/r, cos = r/m |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Основа прямої призми — прямокутний трикутник із катетами 6 і 8, висота призми 10. Знайдіть об’єм, бічну та повну поверхні.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Гіпотенуза основи 10, S_осн = 6 · 8/2 = 24, периметр основи 6 + 8 + 10 = 24.
- V = 24 · 10 = 240.
- S_біч = 24 · 10 = 240; S_повн = 240 + 2 · 24 = 288.
Відповідь: V = 240; S_біч = 240; S_повн = 288.
Приклад 2
Правильна чотирикутна піраміда має сторону основи 8 і бічне ребро 9. Знайдіть висоту й об’єм.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- R — половина діагоналі основи: R = 8√2/2 = 4√2, R² = 32.
- H² = b² − R² = 81 − 32 = 49, H = 7.
- V = ⅓ · 64 · 7 = 448/3 ≈ 149,3.
Відповідь: H = 7; V = 448/3.
Приклад 3
Правильна трикутна піраміда має сторону основи 6 і бічне ребро 4. Знайдіть об’єм.
Типові помилки
- Забувати множник ⅓ в об’ємі піраміди.
- Підставляти в об’єм піраміди апофему чи бічне ребро замість висоти.
- Плутати радіуси: у співвідношенні з бічним ребром беруть R (до вершини основи), з апофемою — r (до середини сторони).
- Використовувати S_біч = P · H для похилої призми.
- Плутати кут бічного ребра з основою (tg = H/R) із двогранним кутом бічної грані (tg = H/r).