Математика · Геометрія
Прямокутний трикутник і тригонометрія гострого кута
У прямокутному трикутнику сторони й гострі кути пов’язані трьома відношеннями — синусом, косинусом і тангенсом. Щоб розв’язати такий трикутник, достатньо знати два його елементи, серед яких є хоча б одна сторона.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Означення й основні співвідношення
sin α = протилежний катет / гіпотенуза cos α = прилеглий катет / гіпотенуза tg α = протилежний катет / прилеглий катет c² = a² + b², α + β = 90°, sin α = cos β
Для кута в 30° катет, що лежить проти нього, дорівнює половині гіпотенузи, бо sin 30° = 1/2. Прямокутний трикутник із кутом 45° рівнобедрений: катети рівні, а гіпотенуза в √2 разів більша за катет. Корисно пам’ятати піфагорові трійки: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25 і всі кратні їм.
Висота, медіана й кола
- площу трикутника знаходять двома способами: S = ab/2 = ch/2, звідки висота до гіпотенузи h = ab/c;
- висота до гіпотенузи розбиває трикутник на два, подібні даному; якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки p та q, то h² = pq;
- медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, а центр описаного кола — середина гіпотенузи, R = c/2;
- радіус вписаного кола r = (a + b − c)/2.
Що шукати за відомими елементами
| Відомо | Шукаємо | Формула |
|---|---|---|
| гіпотенуза c і кут α | катети | a = c · sin α, b = c · cos α |
| катет a і протилежний кут α | гіпотенуза, другий катет | c = a / sin α, b = a / tg α |
| катет b і прилеглий кут α | гіпотенуза, другий катет | c = b / cos α, a = b · tg α |
| два катети | кут | tg α = a / b |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 12. Знайдіть гіпотенузу, синус і косинус меншого кута, висоту до гіпотенузи, радіуси описаного та вписаного кіл.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- c = √(81 + 144) = 15.
- Менший кут лежить проти катета 9: sin α = 9/15 = 0,6, cos α = 12/15 = 0,8.
- h = ab/c = 9 · 12/15 = 7,2.
- R = c/2 = 7,5; r = (9 + 12 − 15)/2 = 3.
Відповідь: c = 15; sin α = 0,6; cos α = 0,8; h = 7,2; R = 7,5; r = 3.
Приклад 2
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20, один із гострих кутів — 30°. Знайдіть катети.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи: a = 10.
- Другий катет: b = c · cos 30° = 20 · √3/2 = 10√3.
- Перевірка: 10² + (10√3)² = 100 + 300 = 400 = 20².
Відповідь: 10 і 10√3.
Типові помилки
- Плутати протилежний і прилеглий катети, особливо після повороту рисунка.
- Писати sin α як відношення катетів: синус — це відношення катета до гіпотенузи.
- Вважати, що половині гіпотенузи дорівнює катет, прилеглий до кута 30°: половині дорівнює протилежний.
- Застосовувати теорему Піфагора, не переконавшись, що кут прямий.
- Забувати переключити калькулятор між градусами та радіанами.