Математика · Геометрія
Трикутники: подібність, бісектриси, медіани, теореми синусів і косинусів
Більшість задач про трикутники розв’язують одним із чотирьох інструментів: теоремою Піфагора, подібністю, теоремою синусів або теоремою косинусів. Вибір залежить від того, які елементи відомі: дві сторони й кут між ними, два кути й сторона чи всі три сторони.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Медіана, бісектриса, висота, середня лінія
- медіана з’єднує вершину із серединою протилежної сторони; три медіани перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини;
- бісектриса ділить кут навпіл; бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам; точка перетину бісектрис — центр вписаного кола;
- висота — перпендикуляр, проведений із вершини до прямої, що містить протилежну сторону;
- середня лінія з’єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині;
- центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін; у прямокутного трикутника це середина гіпотенузи.
Подібність
Трикутники подібні, якщо їхні кути рівні, а сторони пропорційні. Ознаки подібності: за двома кутами; за двома пропорційними сторонами й кутом між ними; за трьома пропорційними сторонами. Якщо коефіцієнт подібності дорівнює k, то відношення всіх відповідних лінійних елементів (сторін, висот, медіан, периметрів) теж дорівнює k, а відношення площ — k². Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.
Теореми й формули
c² = a² + b² (c — гіпотенуза прямокутного трикутника) a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R a² = b² + c² − 2bc · cos α S = ½ · a · hₐ = ½ · ab · sin γ = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c)/2
Радіус вписаного кола r = S/p. У прямокутному трикутнику sin α — це відношення протилежного катета до гіпотенузи, cos α — прилеглого катета до гіпотенузи, tg α — протилежного катета до прилеглого.
| Що відомо | Що застосувати |
|---|---|
| два кути й сторона | теорема синусів |
| дві сторони й кут між ними | теорема косинусів (третя сторона), формула ½ · ab · sin γ |
| три сторони | теорема косинусів (кут), формула Герона (площа) |
| прямий кут | теорема Піфагора, співвідношення між сторонами й кутами |
| пряма, паралельна стороні | подібність трикутників |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
У трикутнику ABC сторони AB = 6, AC = 10, BC = 12. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці D. Знайдіть BD.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- За властивістю бісектриси BD/DC = AB/AC = 6/10 = 3/5.
- BD + DC = 12, тому BD = 12 · 3/(3 + 5) = 4,5.
Відповідь: 4,5.
Приклад 2
У трикутнику ABC точка M лежить на стороні AB, точка N — на стороні BC, MN ∥ AC, BM = 4, MA = 6, AC = 20. Знайдіть MN і відношення площ трикутників BMN та BAC.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Трикутники BMN і BAC подібні: кут B спільний, а кути при паралельних прямих рівні.
- k = BM/BA = 4/(4 + 6) = 0,4.
- MN = k · AC = 0,4 · 20 = 8.
- Відношення площ k² = 0,16.
Відповідь: MN = 8; відношення площ 0,16.
Приклад 3
Типові помилки
- Застосовувати теорему Піфагора до непрямокутного трикутника.
- Вважати, що відношення площ подібних трикутників дорівнює k, а не k².
- Плутати бісектрису з медіаною: бісектриса ділить протилежну сторону навпіл лише тоді, коли прилеглі сторони рівні.
- Брати у формулі S = ½ · ab · sin γ кут, який не лежить між сторонами a і b.
- Ділити медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від сторони, а не від вершини.
- Забувати, що косинус тупого кута від’ємний, і губити мінус у теоремі косинусів.