Математика · Геометрія
Координати й вектори в просторі: відстань, кут, симетрія, рівняння сфери
Просторові координати узагальнюють планіметричні: до двох координат додається третя, а всі формули — відстані, середини, скалярного добутку — набувають такого самого вигляду з додатковим доданком. Вміння працювати з ними дає змогу розв’язувати стереометричні задачі обчисленнями без рисунка.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Точки й вектори
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) середина відрізка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁)
Вектори додають, віднімають і множать на число покоординатно. Вектори колінеарні, якщо їхні відповідні координати пропорційні. Модуль вектора |a⃗| = √(x² + y² + z²).
Скалярний добуток і кут
a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ cos φ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|)
Ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Кут між прямими чи векторами знаходять через косинус, а кут між векторами не перевищує 180°.
Симетрія й рівняння сфери
| Симетрія точки M(x; y; z) відносно | Результат |
|---|---|
| початку координат | (−x; −y; −z) |
| площини Oxy | (x; y; −z) |
| площини Oxz | (x; −y; z) |
| площини Oyz | (−x; y; z) |
сфера з центром (a; b; c) і радіусом R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Задано точки A(1; 2; 3) і B(3; −2; 7). Знайдіть довжину відрізка AB та координати його середини.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- AB = √((3 − 1)² + (−2 − 2)² + (7 − 3)²) = √(4 + 16 + 16) = 6.
- Середина: ((1 + 3)/2; (2 − 2)/2; (3 + 7)/2) = (2; 0; 5).
Відповідь: AB = 6; середина (2; 0; 5).
Приклад 2
Знайдіть косинус кута між векторами a⃗(1; 2; 2) і b⃗(2; 3; 6).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a⃗ · b⃗ = 2 + 6 + 12 = 20.
- |a⃗| = √(1 + 4 + 4) = 3; |b⃗| = √(4 + 9 + 36) = 7.
- cos φ = 20/(3 · 7) = 20/21.
Відповідь: 20/21.
Приклад 3
За якого m вектори a⃗(2; −1; m) і b⃗(3; 4; 2) перпендикулярні?
Показати розв’язання
Типові помилки
- Додавати координати замість віднімання, коли знаходять вектор за двома точками.
- Брати в рівнянні сфери R замість R² у правій частині.
- Плутати знаки під час симетрії відносно площини: змінюється лише одна координата.
- Рахувати косинус кута без ділення на добуток модулів.
- Вважати колінеарні вектори перпендикулярними.