Математика · Геометрія
Рівняння прямої й кола: складання, взаємне розміщення, дотична
Пряму задають лінійним рівнянням, а коло — квадратним, і більшість задач про їх взаємне розміщення зводяться до розв’язування системи двох рівнянь. Кількість розв’язків показує, як лінії розташовані: два, один або жодного.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Рівняння прямої
y = kx + b (k = tg α — кутовий коефіцієнт) за точкою (x₀; y₀) і коефіцієнтом k: y − y₀ = k(x − x₀) за двома точками: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, а для перпендикулярних k₁ · k₂ = −1. Вертикальна пряма має рівняння x = c і кутового коефіцієнта не має. Точку перетину двох прямих знаходять як розв’язок системи їхніх рівнянь.
Рівняння кола й дотична
(x − x₀)² + (y − y₀)² = R² x² + y² + px + qy + s = 0 → виділити повні квадрати
Щоб знайти спільні точки прямої й кола, підставляють y з рівняння прямої в рівняння кола й розв’язують квадратне рівняння: D > 0 — дві точки (січна), D = 0 — одна (дотична), D < 0 — жодної. Дотична до кола в точці M перпендикулярна до радіуса OM, тому її нормаль напрямлена вздовж OM. Для кола x² + y² = R² дотична в точці (x₀; y₀) має рівняння x₀x + y₀y = R².
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Складіть рівняння прямої, що проходить через точку (2; −1) з кутовим коефіцієнтом 3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- y − (−1) = 3(x − 2).
- y + 1 = 3x − 6, тобто y = 3x − 7.
Відповідь: y = 3x − 7.
Приклад 2
Через точку (1; 4) проведіть прямі, паралельну й перпендикулярну до прямої y = 2x + 5.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Паралельна має k = 2: y − 4 = 2(x − 1), тобто y = 2x + 2.
- Перпендикулярна має k = −1/2: y − 4 = −½(x − 1), тобто y = −x/2 + 4,5.
Відповідь: y = 2x + 2 і y = −x/2 + 4,5.
Приклад 3
Знайдіть точку перетину прямих 2x + y = 7 і x − y = −1.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Писати рівняння кола з додатним знаком у дужках для центра: у (x + 2)² центр має координату x₀ = −2.
- Брати в правій частині рівняння кола R замість R².
- Плутати умови перпендикулярності (k₁ · k₂ = −1) і паралельності (k₁ = k₂).
- Втрачати одну зі спільних точок прямої й кола, не розв’язавши квадратне рівняння до кінця.
- Вважати дотичну до кола прямою, що проходить через його центр.