Математика · Геометрія
Правильні многокутники: кути, вписане й описане кола, сторона, апофема, площа
Правильний многокутник має рівні сторони й рівні кути, а тому вписане й описане кола в нього співцентрові. Якщо розбити його радіусами на n рівнобедрених трикутників, усі формули — сторони, апофеми, площі — виводяться з одного трикутника з центральним кутом 360°/n.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Кути й радіуси
центральний кут: 360°/n внутрішній кут: 180° · (n − 2)/n сторона: a = 2R · sin(180°/n), апофема: r = R · cos(180°/n)
R — радіус описаного кола, r — радіус вписаного кола (він же апофема, відстань від центра до сторони). З прямокутного трикутника, утвореного радіусами R, r і половиною сторони, випливає співвідношення R² = r² + (a/2)².
Сума кутів і діагоналі
Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° · (n − 2), тому кожен кут правильного n-кутника — 180° · (n − 2)/n, а зовнішній кут — 360°/n. Кількість діагоналей n-кутника n(n − 3)/2: з кожної вершини виходять n − 3 діагоналі, а кожну рахують двічі. Правильний шестикутник особливий: його сторона дорівнює радіусу описаного кола, бо трикутник із двох радіусів і сторони рівносторонній.
Площа
S = ½ · P · r = (n/2) · R² · sin(360°/n)
Перша формула зручна, коли відомі периметр і апофема, друга — коли відомий радіус описаного кола. Три випадки трапляються найчастіше й їх варто знати напам’ять.
| Многокутник | R | r | S |
|---|---|---|---|
| правильний трикутник зі стороною a | a√3/3 | a√3/6 | a²√3/4 |
| квадрат зі стороною a | a√2/2 | a/2 | a² |
| правильний шестикутник зі стороною a | a | a√3/2 | 3√3 · a²/2 |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Сторона правильного трикутника дорівнює 6. Знайдіть радіуси описаного й вписаного кіл та площу.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- R = a√3/3 = 6√3/3 = 2√3.
- r = a√3/6 = √3 (вдвічі менший за R).
- S = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3.
Відповідь: R = 2√3; r = √3; S = 9√3.
Приклад 2
Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює 5√2. Знайдіть сторону квадрата, його площу та радіус вписаного кола.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Діагональ квадрата дорівнює діаметру: d = 10√2, сторона a = d/√2 = 10.
- S = a² = 100.
- r = a/2 = 5.
Відповідь: a = 10; S = 100; r = 5.
Приклад 3
Площа правильного шестикутника дорівнює 54√3. Знайдіть його сторону.
Типові помилки
- Вважати, що апофема шестикутника дорівнює його стороні: стороні дорівнює радіус описаного кола.
- Плутати R і r: R — до вершини, r — до середини сторони.
- Записувати площу правильного n-кутника як a² для будь-якого n.
- Плутати центральний кут 360°/n із внутрішнім кутом 180° · (n − 2)/n.
- Підставляти в sin(180°/n) замість 180° кут 360°, не поділивши на n.