Математика · Геометрія
Вектори та координати: скалярний добуток, відстань, рівняння кола й прямої
Координатний метод перетворює геометричну задачу на обчислення: відстань, середину, кут і перпендикулярність знаходять за формулами з координат. Головне — не плутати точки з векторами й пам’ятати, що координати вектора дорівнюють різницям координат кінця й початку.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Точки на площині та в просторі
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) середина відрізка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)
У просторі до цих формул додають третю координату: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²), а середина має ще й координату (z₁ + z₂)/2.
Вектори
Координати вектора AB⃗ дорівнюють різницям координат кінця й початку: AB⃗(x₂ − x₁; y₂ − y₁). Модуль вектора |a⃗| = √(x² + y²). Вектори додають, віднімають і множать на число покоординатно. Вектори колінеарні, якщо a⃗ = λ · b⃗, тобто їхні відповідні координати пропорційні: x₁/x₂ = y₁/y₂.
a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|)
Скалярний добуток — це число, а не вектор. Він дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли ненульові вектори перпендикулярні.
Коло та пряма
коло з центром (x₀; y₀) і радіусом R: (x − x₀)² + (y − y₀)² = R² пряма: y = kx + b, k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, а для перпендикулярних k₁ · k₂ = −1. Щоб знайти точки перетину двох ліній, розв’язують систему їхніх рівнянь.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Задано точки A(−2; 1) і B(4; 9). Знайдіть довжину відрізка AB, координати його середини та вектора AB⃗.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- AB = √((4 + 2)² + (9 − 1)²) = √(36 + 64) = 10.
- Середина: ((−2 + 4)/2; (1 + 9)/2) = (1; 5).
- AB⃗ = (4 − (−2); 9 − 1) = (6; 8).
Відповідь: AB = 10; середина (1; 5); AB⃗(6; 8).
Приклад 2
Знайдіть кут між векторами a⃗(1; 2) і b⃗(3; 1).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a⃗ · b⃗ = 1 · 3 + 2 · 1 = 5.
- |a⃗| = √5, |b⃗| = √10, тож |a⃗| · |b⃗| = √50 = 5√2.
- cos φ = 5/(5√2) = √2/2, отже φ = 45°.
Відповідь: 45°.
Приклад 3
За яких значень m вектори a⃗(m; 4) і b⃗(3; −6) колінеарні, а за яких — перпендикулярні?
Типові помилки
- Брати координати вектора як «кінець плюс початок» замість «кінець мінус початок».
- Не ділити на 2 у формулі середини відрізка.
- Помилятися зі знаком у рівнянні кола: у (x + 2)² центр має x₀ = −2.
- Писати в правій частині рівняння кола R замість R².
- Плутати колінеарні вектори з перпендикулярними.
- Рахувати кут між векторами, не ділячи скалярний добуток на добуток модулів.