Фізика · Механіка
Механічні коливання й хвилі: маятники, гармонічні коливання, довжина хвилі, звук
Коливання описують амплітуда, період і частота, а період маятників залежить лише від параметрів системи: довжини нитки й g або маси й жорсткості. Хвиля переносить енергію без переносу речовини, а її довжина дорівнює добутку швидкості на період.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Гармонічні коливання
x = A·cos(ωt + φ₀) T = t/N ν = N/t = 1/T ω = 2π/T v_max = ωA a_max = ω²A a = −ω²x
Амплітуда A — найбільше відхилення від положення рівноваги. У положенні рівноваги швидкість максимальна, а прискорення дорівнює нулю, у крайніх точках — навпаки. Повна механічна енергія коливань не змінюється за відсутності тертя: E = kA²/2 = mv_max²/2, і вона переходить між потенціальною та кінетичною.
Маятники та резонанс
нитяний: T = 2π·√(l/g) пружинний: T = 2π·√(m/k)
Період нитяного маятника за малих кутів не залежить від маси вантажу й амплітуди, а період пружинного — від маси й жорсткості. Резонанс — різке зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої сили збігається з власною частотою системи.
Хвилі й звук
λ = v·T = v/ν
У поперечній хвилі частинки коливаються перпендикулярно до напрямку поширення, у поздовжній — уздовж нього. Звук — поздовжня хвиля, що поширюється в пружних середовищах і не поширюється у вакуумі; швидкість звуку в повітрі близько 340 м/с, у воді й твердих тілах більша. Висота тону визначається частотою, гучність — амплітудою. Людське вухо чує приблизно від 20 Гц до 20 кГц; нижчі частоти — інфразвук, вищі — ультразвук.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Знайдіть період і частоту нитяного маятника довжиною 2,5 м (g = 10 м/с²). Як зміниться період, якщо довжину збільшити в 4 рази?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- T = 2π√(l/g) = 2π√0,25 = 2π · 0,5 = π ≈ 3,14 с; ν = 1/T ≈ 0,32 Гц.
- Довжина в 4 рази більша: T зростає в √4 = 2 рази.
Відповідь: T ≈ 3,14 с; ν ≈ 0,32 Гц; період збільшиться вдвічі.
Приклад 2
Вантаж масою 0,25 кг коливається на пружині жорсткістю 100 Н/м. Знайдіть період.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- T = 2π√(m/k) = 2π√(0,25/100) = 2π√0,0025.
- √0,0025 = 0,05, тому T = 2π · 0,05 = 0,1π ≈ 0,31 с.
Відповідь: ≈ 0,31 с.
Приклад 3
Тіло коливається за законом x = 0,05·cos(10πt) (метри). Знайдіть амплітуду, період, частоту, максимальну швидкість і максимальне прискорення.
Типові помилки
- Вважати, що період нитяного маятника залежить від маси вантажу.
- Плутати частоту ν = 1/T із циклічною частотою ω = 2π/T і підставляти у формули не ту величину.
- Вважати, що в положенні рівноваги швидкість дорівнює нулю: там вона максимальна.
- Вважати, що звук поширюється у вакуумі або швидше в повітрі, ніж у воді.
- Писати λ = v/T замість λ = v·T (або λ = v/ν).