Математика · Функції
Показникова й логарифмічна функції: властивості, графіки, перетворення
Показникова y = aˣ і логарифмічна y = logₐx функції взаємно обернені: їхні графіки симетричні відносно прямої y = x. Майже кожна задача про них спирається на два питання: чи основа більша за 1 і яка область визначення.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Показникова функція y = aˣ
Функція задана за a > 0, a ≠ 1. Її область визначення — усі дійсні числа, область значень — (0; +∞), тому нулів немає, а графік лежить над віссю Ox і проходить через точку (0; 1). За a > 1 функція зростає, за 0 < a < 1 — спадає. Вісь Ox (y = 0) є горизонтальною асимптотою. Графіки y = aˣ і y = (1/a)ˣ симетричні відносно осі Oy.
Логарифмічна функція y = logₐx
Область визначення — (0; +∞), область значень — усі дійсні числа. Графік проходить через точку (1; 0), вісь Oy (x = 0) — вертикальна асимптота. За a > 1 функція зростає, за 0 < a < 1 спадає. Нуль функції один: x = 1. Якщо a > 1, то logₐx > 0 при x > 1 і logₐx < 0 при 0 < x < 1; за 0 < a < 1 знаки протилежні.
| Властивість | y = aˣ | y = logₐx |
|---|---|---|
| область визначення | (−∞; +∞) | (0; +∞) |
| область значень | (0; +∞) | (−∞; +∞) |
| особлива точка | (0; 1) | (1; 0) |
| асимптота | y = 0 | x = 0 |
| монотонність | зростає за a > 1, спадає за 0 < a < 1 | так само |
Перетворення графіків
| Запис | Що відбувається з графіком y = f(x) |
|---|---|
| y = f(x) + n | зсув уздовж Oy на n (угору за n > 0) |
| y = f(x − m) | зсув уздовж Ox на m (праворуч за m > 0) |
| y = −f(x) | відбиття відносно осі Ox |
| y = f(−x) | відбиття відносно осі Oy |
Для y = aˣ⁺ᵐ + n асимптота — пряма y = n, а для y = logₐ(x + m) — пряма x = −m.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Знайдіть область визначення функції y = log₂(x² − 4).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Аргумент логарифма має бути додатним: x² − 4 > 0.
- (x − 2)(x + 2) > 0, звідки x < −2 або x > 2.
Відповідь: (−∞; −2) ∪ (2; +∞).
Приклад 2
Порівняйте числа (0,3)⁻² і (0,3)⁻³.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Основа 0,3 менша за 1, отже функція y = (0,3)ˣ спадає.
- −2 > −3, тому (0,3)⁻² < (0,3)⁻³.
- Перевірка: (0,3)⁻² ≈ 11,1, (0,3)⁻³ ≈ 37,0.
Відповідь: (0,3)⁻² < (0,3)⁻³.
Приклад 3
Порівняйте log₀,₅3 і log₀,₅5.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Основа 0,5 менша за 1, тому логарифмічна функція спадає.
Типові помилки
- Вважати областю визначення логарифмічної функції всі дійсні числа.
- Казати, що показникова функція має нулі: вона завжди додатна.
- Вважати функцію aˣ спадною за a > 1 або logₐx зростаючою за 0 < a < 1.
- Плутати напрям зсуву: y = f(x − 2) зсуває графік праворуч, а не ліворуч.
- Ігнорувати ОДЗ у нерівностях з логарифмом.