Математика · Функції
Арифметична й геометрична прогресії: формули й задачі
Прогресія — числова послідовність із жорстким правилом переходу: в арифметичній до кожного члена додають те саме число d, у геометричній множать на те саме число q. Майже всі задачі розв’язуються двома формулами: для n-го члена та для суми перших n членів.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Арифметична прогресія
Різниця d = aₙ₊₁ − aₙ стала. Прогресія зростає за d > 0 і спадає за d < 0; її члени — це значення лінійної функції від номера n.
aₙ = a₁ + d(n − 1) Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + d(n − 1))/2 · n aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
Остання рівність — характеристична властивість: кожен член, крім першого й останнього, дорівнює середньому арифметичному сусідніх. Формула суми випливає з того, що члени, рівновіддалені від кінців, мають однакову суму: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …
Геометрична прогресія
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Знаменник q = bₙ₊₁/bₙ сталий і не дорівнює нулю. За q = 1 усі члени рівні, а сума Sₙ = n · b₁. Якщо q < 0, знаки членів чергуються, тому з рівності q² = 9 можуть випливати обидва значення q = ±3, якщо умова не обмежує знаки членів.
Як розпізнати й порівняти
| Ознака | Арифметична | Геометрична |
|---|---|---|
| перехід до наступного члена | додаємо d | множимо на q |
| формула члена як функції n | лінійна | показникова |
| приклад із відсотками | прості: щороку додають ту саму суму | складні: щороку множать на 1 + r/100 |
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
В арифметичній прогресії a₁ = 4 і d = 3. Знайдіть a₁₀ і S₁₀.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a₁₀ = 4 + 3 · 9 = 31.
- S₁₀ = (4 + 31)/2 · 10 = 35 · 5 = 175.
Відповідь: a₁₀ = 31; S₁₀ = 175.
Приклад 2
В арифметичній прогресії a₃ = 11 і a₇ = 27. Знайдіть d і a₁.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a₇ − a₃ = 4d = 16, отже d = 4.
- a₁ = a₃ − 2d = 11 − 8 = 3.
- Перевірка: a₇ = 3 + 6 · 4 = 27.
Відповідь: d = 4; a₁ = 3.
Приклад 3
У геометричній прогресії b₁ = 3 і q = 2. Знайдіть b₆ і S₆.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- b₆ = 3 · 2⁵ = 96.
- S₆ = 3 · (2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3 · 63 = 189.
Типові помилки
- Плутати номер члена із його значенням: a₁₀ — це десятий член, а не число 10.
- Брати в сумі геометричної прогресії qⁿ⁻¹ замість qⁿ.
- Застосовувати формулу суми за q = 1: знаменник q − 1 тоді дорівнює нулю, а сума Sₙ = n · b₁.
- Вважати, що з b₄/b₂ = 9 випливає q = 9, а не q² = 9.
- Забувати, що різниця d може бути від’ємною: тоді прогресія спадає.