Математика · Функції
Квадратична функція й парабола: вершина, графік, властивості
Графік квадратичної функції y = ax² + bx + c — парабола. Щоб її схематично побудувати й дослідити, досить знати напрям гілок (знак a), вершину, нулі та точку перетину з віссю Oy.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Вершина, нулі, напрям гілок
x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀) = c − b²/(4a) нулі: ax² + bx + c = 0, D = b² − 4ac перетин із Oy: (0; c)
Пряма x = x₀ — вісь симетрії параболи. Якщо a > 0, гілки напрямлені вгору, y₀ — найменше значення функції; якщо a < 0 — гілки вниз, y₀ — найбільше. Кількість спільних точок з віссю Ox залежить від дискримінанта: D > 0 — дві, D = 0 — одна (вершина лежить на осі Ox), D < 0 — жодної.
Три форми запису
| Форма | Вигляд | Що видно одразу |
|---|---|---|
| загальна | y = ax² + bx + c | перетин із Oy і знак a |
| вершинна | y = a(x − x₀)² + y₀ | вершина (x₀; y₀) |
| за нулями | y = a(x − x₁)(x − x₂) | точки перетину з Ox |
Параболу y = a(x − m)² + n отримують із y = ax² зсувом на m вздовж Ox і на n вздовж Oy. Чим більший |a|, тим «вужча» парабола.
Властивості функції
- область визначення — усі дійсні числа;
- область значень — [y₀; +∞) за a > 0 і (−∞; y₀] за a < 0;
- за a > 0 функція спадає на (−∞; x₀] і зростає на [x₀; +∞); за a < 0 — навпаки;
- знак функції на проміжках визначають за коренями й напрямом гілок: «між коренями» знак протилежний до знака a.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Дослідіть функцію y = x² − 6x + 5: знайдіть вершину, нулі, точку перетину з Oy і найменше значення.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- x₀ = −(−6)/(2 · 1) = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4.
- Нулі: x² − 6x + 5 = 0, звідки x = 1 і x = 5 (за Вієтом 1 + 5 = 6, 1 · 5 = 5).
- Перетин із Oy: y(0) = 5. Гілки вгору, тож найменше значення −4.
Відповідь: вершина (3; −4); нулі 1 і 5; Oy у точці (0; 5); найменше значення −4.
Приклад 2
Знайдіть область значень функції y = −2x² + 8x − 3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a = −2 < 0, гілки вниз, отже є найбільше значення.
- x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2.
- y₀ = −2 · 4 + 16 − 3 = 5.
Відповідь: (−∞; 5].
Приклад 3
Складіть рівняння параболи з вершиною (2; −1), що проходить через точку (0; 3).
Типові помилки
- Писати x₀ = b/(2a) без мінуса.
- Вважати, що за a < 0 гілки напрямлені вгору, і плутати найбільше значення з найменшим.
- Писати область значень як усі числа: вона обмежена вершиною.
- Вважати параболу симетричною відносно осі Oy за будь-яких b: вісь симетрії — x = x₀.
- Забувати, що за D < 0 і a > 0 функція додатна при всіх x.