Математика · Функції
Найбільше й найменше значення функції: на відрізку, на проміжку, в задачах на оптимізацію
Найбільше й найменше значення функції шукають по-різному залежно від умови: на відрізку порівнюють значення на кінцях і в критичних точках, на нескінченному проміжку дивляться на знак похідної, а для квадратичної функції беруть вершину параболи. Якщо в умові не просять саме точку, відповіддю є значення функції, а не значення x.
Авторський матеріал Тями · оновлено
На відрізку [a; b]
- знайди похідну й критичні точки: там, де f′(x) = 0 або похідної не існує;
- залиш критичні точки, що лежать усередині відрізка;
- обчисли значення f у цих точках і на кінцях a та b;
- найбільше з отриманих чисел — найбільше значення на відрізку, найменше — найменше.
Неперервна функція на відрізку завжди досягає обох значень, тому порівняння скінченної кількості чисел дає відповідь без дослідження знаків похідної.
На відкритому чи нескінченному проміжку
Якщо на всьому проміжку є єдина критична точка, де похідна змінює знак з «−» на «+», то це точка найменшого значення; зі зміною «+» на «−» — найбільшого. Якщо функція на проміжку монотонна, екстремум досягається на кінці, а на відкритому кінці значення не досягається. Для y = ax² + bx + c найбільше чи найменше значення — у вершині x₀ = −b/(2a). Іноді досить оцінки: sin x ∈ [−1; 1], (x − 3)² ≥ 0, √x ≥ 0.
Прикладні задачі
У задачах про площу, об’єм чи вартість спершу вводять змінну x, записують величину, що оптимізується, як функцію f(x), і визначають допустимі значення x за змістом (довжина додатна, сторона менша за периметр тощо). Далі застосовують один із наведених способів. Обов’язково перевіряють, що знайдене x належить допустимому проміжку.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Знайдіть найбільше й найменше значення функції f(x) = x³ − 12x на відрізку [−3; 3].
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- f′(x) = 3x² − 12 = 0, звідки x = −2 і x = 2; обидві точки лежать у відрізку.
- f(−3) = −27 + 36 = 9; f(−2) = −8 + 24 = 16; f(2) = 8 − 24 = −16; f(3) = 27 − 36 = −9.
- Найбільше число — 16, найменше — −16.
Відповідь: найбільше 16, найменше −16.
Приклад 2
Знайдіть найменше значення функції f(x) = x + 4/x на проміжку (0; +∞).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- f′(x) = 1 − 4/x² = 0 за x > 0 дає x = 2.
- При x < 2 похідна від’ємна, при x > 2 — додатна: знак змінюється з «−» на «+».
- f(2) = 2 + 2 = 4.
Відповідь: найменше значення 4 (найбільшого немає).
Приклад 3
Знайдіть найбільше й найменше значення функції f(x) = −x² + 6x − 5 на відрізку [0; 1].
Типові помилки
- Не перевіряти значення функції на кінцях відрізка.
- Брати в розгляд критичні точки поза відрізком.
- Відповідати значенням x замість значення функції (або навпаки).
- Ігнорувати допустимі значення змінної в прикладній задачі.
- Вважати будь-яку критичну точку екстремумом, не перевіривши зміну знака похідної.