Математика · Функції
Тригонометрія: одиничне коло, основні формули, найпростіші рівняння
Будь-яка тригонометрична задача НМТ спирається на одиничне коло: косинус і синус кута α — це координати точки на колі радіуса 1. Звідси випливають таблиця значень, знаки за чвертями, основні тотожності й загальні розв’язки найпростіших рівнянь.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Одиничне коло й таблиця значень
Точка одиничного кола, що відповідає куту α, має координати (cos α; sin α), а tg α = sin α / cos α. Кут відкладають від додатного напрямку осі Ox проти годинникової стрілки. Міри кутів пов’язує рівність 180° = π радіанів: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | не існує |
Знаки залежать від чверті: у I чверті всі функції додатні, у II — лише sin, у III — лише tg, у IV — лише cos.
Основні формули
sin²α + cos²α = 1 1 + tg²α = 1/cos²α sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формули зведення виражають функції кутів 180° ± α, 360° − α, 90° ± α через функції гострого кута α. Правило: від 90° чи 270° функція змінюється на співфункцію (sin ↔ cos), від 180° чи 360° лишається тією самою; знак визначає чверть, у якій лежить початковий кут.
sin(180° − α) = sin α cos(180° − α) = −cos α sin(90° + α) = cos α cos(90° + α) = −sin α
Найпростіші рівняння
| Рівняння | Розв’язок (n ∈ Z) |
|---|---|
| sin x = a, |a| ≤ 1 | x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn |
| cos x = a, |a| ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πn |
| tg x = a | x = arctg a + πn |
| sin x = 0 | x = πn |
| sin x = 1 | x = π/2 + 2πn |
| cos x = 0 | x = π/2 + πn |
| cos x = −1 | x = π + 2πn |
Якщо |a| > 1, рівняння sin x = a і cos x = a розв’язків не мають. Складніші рівняння зводять до найпростіших розкладанням на множники або заміною t = sin x чи t = cos x з обмеженням |t| ≤ 1.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Обчисліть sin 150° + cos 120° − tg 135°.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
- cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2.
- tg 135° = tg(180° − 45°) = −tg 45° = −1.
- 1/2 + (−1/2) − (−1) = 1.
Відповідь: 1.
Приклад 2
Знайдіть cos α і tg α, якщо sin α = 3/5 і кут α лежить у II чверті.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25.
- У II чверті косинус від’ємний: cos α = −4/5.
- tg α = sin α / cos α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
Відповідь: cos α = −4/5; tg α = −3/4.
Приклад 3
Обчисліть sin 2α і cos 2α, якщо sin α = 0,6 і α — гострий кут.
Показати розв’язання
Типові помилки
- Плутати знаки функцій за чвертями: cos 120° < 0, а sin 120° > 0.
- Забувати «±» у розв’язку рівняння cos x = a.
- Шукати корені рівнянь sin x = 2 чи cos x = −1,5: |sin x| ≤ 1 і |cos x| ≤ 1.
- Плутати, коли формула зведення змінює функцію: від 90° і 270° змінює, від 180° і 360° — ні.
- Писати sin 2α = 2 sin α або cos 2α = 2 cos α.
- Ділити рівняння на sin x чи cos x і губити корені, які їх обертають на нуль.