Математика · Функції

Первісна та інтеграл: таблиця первісних, формула Ньютона — Лейбніца, площа фігури

Первісна F для функції f — це функція, похідна якої дорівнює f. Визначений інтеграл ∫ₐᵇ f(x)dx дорівнює різниці значень первісної F(b) − F(a) і дає площу криволінійної трапеції, якщо f(x) ≥ 0 на відрізку.

Авторський матеріал Тями · оновлено 1 жовтня 2026 р.

Первісна й таблиця

Якщо F′(x) = f(x), то F(x) + C, де C — довільна стала, також первісна: саме тому в невизначеному інтегралі записують «+ C». Первісну шукають за таблицею й правилами: первісна суми дорівнює сумі первісних, стала виноситься за знак інтеграла, а для функції f(kx + b) первісна дорівнює (1/k) · F(kx + b).

f(x)	Первісна F(x)
k (стала)	kx + C
xⁿ, n ≠ −1	xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
1/x	ln x + C (x > 0)
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ/ln a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x	tg x + C

Визначений інтеграл

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Формула Ньютона — Лейбніца зводить обчислення інтеграла до підстановки меж у первісну: сталу C можна не писати, бо вона скорочується. Властивості: інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, ∫ₐᵃ f = 0, а перестановка меж змінює знак.

Площа фігури

якщо f(x) ≥ 0 на [a; b], то площа під графіком S = ∫ₐᵇ f(x) dx;
якщо f(x) ≤ 0, інтеграл від’ємний, а площа дорівнює його модулю;
площа фігури між графіками, де f(x) ≥ g(x) на [a; b]: S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx;
межі інтегрування знаходять як абсциси точок перетину ліній, розв’язавши рівняння f(x) = g(x).

Розібрані приклади

Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.

Приклад 1
Обчисліть ∫₀³ (2x + 1) dx.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
1. Первісна: F(x) = x² + x.
2. F(3) − F(0) = (9 + 3) − 0 = 12.
Відповідь: 12.
Приклад 2
Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком y = x², віссю Ox та прямою x = 3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
1. Фігура лежить над віссю Ox на [0; 3], тож S = ∫₀³ x² dx.
2. Первісна x³/3: S = 27/3 − 0 = 9.
Відповідь: 9.
Приклад 3
Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою y = x² і прямою y = 2x.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
1. Межі: x² = 2x, звідки x = 0 і x = 2.
2. На (0; 2) пряма вища за параболу: f − g = 2x − x².

Типові помилки

Забувати «+ C» під час пошуку первісної, коли задача вимагає загальний вигляд.
Писати первісну xⁿ як xⁿ⁺¹ без ділення на n + 1.
Міняти порядок: F(a) − F(b) замість F(b) − F(a).
Брати в площі між графіками нижню функцію мінус верхню й отримувати від’ємне число.
Плутати первісні синуса й косинуса: (−cos x)′ = sin x, а (sin x)′ = cos x.
Не ділити на k у первісній функції виду cos(kx): первісна cos 3x дорівнює sin 3x / 3.