Математика · Функції
Похідна: таблиця, правила і застосування
Похідна показує, як швидко змінюється функція. На НМТ її використовують, щоб знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проміжки зростання, екстремуми, найбільше й найменше значення та швидкість руху.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Таблиця і правила
| Функція | Похідна |
|---|---|
| C (стала) | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x | 1/(2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
(u ± v)′ = u′ ± v′ (u·v)′ = u′v + uv′ (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Геометричний і фізичний зміст
f′(x₀) = tg α, де α — кут між дотичною та додатним напрямом осі Ox. Якщо точка рухається за законом s(t), то s′(t) — її швидкість, а s″(t) — прискорення.
Найбільше й найменше значення на відрізку
- знайди f′(x) і критичні точки, де f′(x) = 0 або не існує;
- залиш лише ті, що лежать на відрізку;
- обчисли f у цих точках і на кінцях відрізка;
- найбільше з отриманих чисел — максимум на відрізку, найменше — мінімум.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Знайдіть похідну функції f(x) = (2x + 1)⁵.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Зовнішня функція u⁵ має похідну 5u⁴, внутрішня 2x + 1 — похідну 2.
- f′(x) = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴.
Відповідь: 10(2x + 1)⁴.
Приклад 2
Точка рухається за законом s(t) = t³ − 2t² (s — у метрах, t — у секундах). Знайдіть швидкість у момент t = 3 с.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- v(t) = s′(t) = 3t² − 4t.
- v(3) = 27 − 12 = 15.
Відповідь: 15 м/с.
Приклад 3
Знайдіть найбільше значення f(x) = x³ − 3x на відрізку [0; 2].
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- f′(x) = 3x² − 3 = 0 при x = ±1; на відрізку лежить x = 1.
Типові помилки
- Забувати помножити на похідну внутрішньої функції.
- Не перевіряти значення функції на кінцях відрізка.
- Плутати знак у похідній косинуса: (cos x)′ = −sin x.