Математика · Рівняння та нерівності
Модуль числа й рівняння з модулем
Модуль |a| — це відстань від числа a до нуля на числовій прямій, тому він завжди невід’ємний. Рівняння з модулем розв’язують за означенням (розглядають два випадки знака підмодульного виразу) або за геометричним змістом відстані.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Означення й властивості
|a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0 |a| ≥ 0 |−a| = |a| |ab| = |a| · |b| |a/b| = |a|/|b| |a|² = a² |a + b| ≤ |a| + |b|
Вираз |a − b| означає відстань між точками a і b на числовій прямій. Саме тому розв’язок рівняння |x − 2| = 3 — це точки, що лежать на відстані 3 від двійки: x = −1 і x = 5. Корінь із квадрата дорівнює модулю: √(a²) = |a|.
Основні типи рівнянь і нерівностей
| Вигляд | Розв’язок |
|---|---|
| |f(x)| = a, a > 0 | f(x) = a або f(x) = −a |
| |f(x)| = a, a < 0 | розв’язків немає |
| |f(x)| = |g(x)| | f(x) = g(x) або f(x) = −g(x) |
| |f(x)| = g(x) | g(x) ≥ 0 і (f(x) = g(x) або f(x) = −g(x)) |
| |f(x)| < a, a > 0 | −a < f(x) < a |
| |f(x)| > a, a > 0 | f(x) < −a або f(x) > a |
Нерівність |f(x)| < a — це подвійна нерівність (умови з «і»), а |f(x)| > a — сукупність (умови з «або»).
Метод проміжків для кількох модулів
- знайди нулі кожного підмодульного виразу й познач їх на числовій прямій;
- на кожному проміжку визнач знак кожного виразу під модулем і розкрий модулі;
- розв’яжи отримане рівняння на проміжку й залиш лише корені, що належать цьому проміжку;
- об’єднай результати всіх проміжків.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть рівняння |2x − 3| = 7.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Праворуч додатне число, тому 2x − 3 = 7 або 2x − 3 = −7.
- Перший випадок дає 2x = 10, x = 5; другий — 2x = −4, x = −2.
- Перевірка: |2 · (−2) − 3| = |−7| = 7.
Відповідь: x = −2 або x = 5.
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння |x − 1| = 2x + 3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Модуль невід’ємний, тож 2x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ −3/2.
- Випадок x − 1 = 2x + 3 дає x = −4, що не задовольняє умову x ≥ −3/2.
- Випадок x − 1 = −(2x + 3) дає 3x = −2, x = −2/3, і −2/3 ≥ −3/2.
- Перевірка: |−2/3 − 1| = 5/3 і 2 · (−2/3) + 3 = 5/3.
Відповідь: x = −2/3.
Приклад 3
Розв’яжіть рівняння |x + 2| + |x − 3| = 7.
Типові помилки
- Розглядати лише випадок f(x) = a і забувати f(x) = −a.
- Шукати розв’язок рівняння |x| = −3: модуль не буває від’ємним.
- Не перевіряти умову g(x) ≥ 0 в рівнянні |f(x)| = g(x) і залишати сторонні корені.
- Вважати, що |a + b| = |a| + |b| завжди: рівність можлива лише для чисел одного знака.
- Записувати |x| < a як «x < a або x > −a» замість «−a < x < a».