Математика · Рівняння та нерівності
Показникові рівняння й нерівності: три основні методи
Показникове рівняння містить змінну в показнику степеня. Його розв’язують одним із трьох методів — зведенням до однакової основи, винесенням спільного множника чи заміною t = aˣ, — а в нерівностях ще й стежать, чи основа більша за 1.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Що випливає з властивостей показникової функції
Функція y = aˣ визначена за a > 0, a ≠ 1 і набуває лише додатних значень. Вона монотонна: за a > 1 зростає, за 0 < a < 1 спадає. Тому з рівності aᶠ = aᵍ випливає f = g, а рівняння aˣ = −4 чи aˣ = 0 коренів не має.
| Основа | Рівняння aᶠ = aᵍ | Нерівність aᶠ > aᵍ |
|---|---|---|
| a > 1 | f = g | f > g (знак зберігається) |
| 0 < a < 1 | f = g | f < g (знак змінюється) |
Три методи розв’язування рівнянь
- однакова основа: запиши обидві частини як степені одного числа й прирівняй показники, наприклад 4ˣ⁺¹ = 8ˣ⁻¹ ⇒ 2²ˣ⁺² = 2³ˣ⁻³;
- спільний множник: якщо в рівнянні є степені aˣ, aˣ⁺ⁿ, aˣ⁻ⁿ, винеси найменший за дужки, бо aˣ⁺ⁿ = aˣ · aⁿ;
- заміна: якщо рівняння містить aˣ і a²ˣ, поклади t = aˣ, де t > 0, і розв’яжи квадратне рівняння відносно t.
Після заміни t = aˣ відкидай від’ємні значення t: показниковий вираз завжди додатний.
Показникові нерівності
Нерівність зводять до вигляду aᶠ ∨ aᵍ з однаковою основою, а далі переходять до показників, пам’ятаючи про основу. Якщо основа — дріб між 0 і 1, знак нерівності змінюється. Складніші нерівності після заміни t = aˣ стають квадратними, і їх розв’язок зводять до найпростіших нерівностей aˣ > c.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть рівняння 4^(x+1) = 8^(x−1).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Запишемо степені двійки: 4 = 2², 8 = 2³, тож 2^(2x+2) = 2^(3x−3).
- Основи однакові, прирівнюємо показники: 2x + 2 = 3x − 3, звідки x = 5.
- Перевірка: 4⁶ = 4096 і 8⁴ = 4096.
Відповідь: 5.
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння 3^(x+2) + 3^x = 90.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- 3^(x+2) = 3^x · 3² = 9 · 3^x.
- Виносимо 3^x: 3^x · (9 + 1) = 90, тож 3^x = 9.
- x = 2. Перевірка: 81 + 9 = 90.
Відповідь: 2.
Приклад 3
Розв’яжіть рівняння 4^x − 5 · 2^x + 4 = 0.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Залишати від’ємний корінь після заміни t = aˣ: рівняння aˣ = −1 коренів не має.
- Не змінювати знак нерівності за основи від 0 до 1.
- Писати aˣ⁺ⁿ = aˣ + aⁿ замість aˣ · aⁿ.
- Прирівнювати показники, не звівши основи до однакових: з 4ˣ = 8ˣ⁻¹ не випливає x = x − 1.
- Шукати корінь рівняння aˣ = 0 або aˣ = від’ємне число.