Математика · Рівняння та нерівності
Текстові задачі на рух і роботу: як скласти рівняння
У текстовій задачі спершу обирають невідоме й виражають через нього решту величин, а рівняння складають за зв’язком, який в умові повторюється: однаковий час, однакова відстань або вся робота, що дорівнює одиниці. Без перевірки змісту легко прийняти за відповідь сторонній корінь.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Схема розв’язання
- Випиши, що дано й що шукають, і переведи величини в узгоджені одиниці (кілометри й години, метри й секунди).
- Познач невідоме буквою: найчастіше це те, що шукають, але можна взяти й допоміжну величину.
- Вирази через неї інші величини; зручно заповнити таблицю «швидкість — час — відстань» або «продуктивність — час — робота».
- Склади рівняння за зв’язком з умови й розв’яжи його.
- Відкинь корені, що суперечать змісту (від’ємний час, швидкість менша за швидкість течії), і дай відповідь на поставлене запитання з одиницями.
Задачі на рух
s = v · t, v = s/t, t = s/v
| Ситуація | Швидкість |
|---|---|
| за течією | v + u (v — власна швидкість, u — швидкість течії) |
| проти течії | v − u |
| назустріч | v₁ + v₂ (швидкість зближення) |
| навздогін | v₁ − v₂, якщо v₁ > v₂ |
Середня швидкість — це весь шлях, поділений на весь час, а не середнє арифметичне швидкостей. Якщо половину шляху їхати зі швидкістю v₁, а другу половину зі швидкістю v₂, середня швидкість дорівнює 2v₁v₂/(v₁ + v₂).
Задачі на роботу
Якщо обсяг роботи не задано, вважають, що вся робота дорівнює 1. Тоді продуктивність виконавця — це 1/t, де t — час, за який він сам виконає всю роботу. Під час спільної роботи продуктивності додаються.
A = p · t, p = A/t, p₁ + p₂ = 1/t_спільний
Додавай продуктивності (скільки роботи за годину), а не часи виконання.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Моторний човен пройшов 30 км за течією та 12 км проти течії, витративши на весь шлях 5 год. Швидкість течії 2 км/год. Знайдіть власну швидкість човна.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Нехай власна швидкість v км/год. За течією швидкість v + 2, проти течії v − 2 (v > 2).
- Час руху: 30/(v + 2) + 12/(v − 2) = 5.
- Множимо на (v + 2)(v − 2): 30(v − 2) + 12(v + 2) = 5(v² − 4), тобто 42v − 36 = 5v² − 20.
- 5v² − 42v + 16 = 0, D = 1764 − 320 = 1444 = 38², v = (42 ± 38)/10, тобто v = 8 або v = 0,4.
- v = 0,4 < 2 суперечить умові: проти течії човен не зміг би рухатися. Отже, v = 8. Перевірка: 30/10 + 12/6 = 3 + 2 = 5.
Відповідь: 8 км/год.
Приклад 2
Двоє робітників разом виконують завдання за 6 год. Перший, працюючи сам, виконує його на 5 год швидше, ніж другий. За скільки годин кожен виконає завдання самостійно?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Вважати середню швидкість середнім арифметичним швидкостей.
- Додавати часи замість продуктивностей у задачі на спільну роботу.
- Змішувати в одному рівнянні хвилини й години, метри й кілометри.
- Не відкинути корінь, що суперечить змісту: швидкість меншу за швидкість течії або від’ємний час.
- Відповідати значенням допоміжного невідомого, а не тим, про що питають (x замість x + 5).