Математика · Рівняння та нерівності
Метод інтервалів: нерівності з добутком і часткою
Метод інтервалів розв’язує будь-яку нерівність виду P(x)/Q(x) ∨ 0, де P і Q — добутки лінійних множників. Нулі чисельника й знаменника розбивають числову пряму на проміжки, а знак на сусідніх проміжках чергується, окрім переходу через нуль парної кратності.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Алгоритм
- Перенеси все в один бік, щоб з іншого боку був нуль, зведи до спільного знаменника й розклади чисельник і знаменник на множники виду (x − a).
- Знайди нулі чисельника й знаменника та познач їх на числовій прямій.
- Нулі знаменника завжди виколоті. Нулі чисельника виколоті в строгих нерівностях (<, >) і зафарбовані в нестрогих (≤, ≥).
- Визнач знак на крайньому правому проміжку: якщо всі множники мають вигляд (x − a), там стоїть «плюс».
- Рухайся ліворуч і чергуй знаки, але через нуль парної кратності знак не змінюється.
- Вибери проміжки з потрібним знаком, додай окремі зафарбовані точки й запиши відповідь.
Множник виду (a − x) запиши як −(x − a) і врахуй мінус: він змінює знак усієї нерівності.
Чому знаки чергуються й коли це не так
Добуток змінює знак лише тоді, коли знак змінює один із множників, тобто під час переходу через його нуль непарної кратності. Множник (x − a)² невід’ємний при будь-якому x, тому через a він знак не змінює.
- у нестрогій нерівності ≤ 0 нуль парної кратності входить у відповідь як окрема точка, навіть коли навколо нього стоїть «плюс»;
- квадратний тричлен з D < 0 має сталий знак, що збігається зі знаком старшого коефіцієнта, тому його можна відкинути, якщо він додатний;
- дробову нерівність не можна множити на знаменник, бо його знак невідомий: переносимо доданки й зводимо до спільного знаменника.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть нерівність (x − 1)(x + 3)(x − 5) < 0.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Нулі множників: −3, 1, 5. Нерівність строга, тому всі точки виколоті.
- Праворуч від 5 знак «плюс», далі чергуємо: (1; 5) — «мінус», (−3; 1) — «плюс», (−∞; −3) — «мінус».
- Потрібні проміжки зі знаком «мінус». Перевірка: x = 2 дає 1 · 5 · (−3) = −15 < 0.
Відповідь: x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; 5).
Приклад 2
Розв’яжіть нерівність (x + 1)/(x − 2) ≥ 1.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Переносимо одиницю ліворуч: (x + 1)/(x − 2) − 1 ≥ 0.
- Зводимо до спільного знаменника: (x + 1 − x + 2)/(x − 2) ≥ 0, тобто 3/(x − 2) ≥ 0.
- Чисельник додатний, отже x − 2 > 0 (знаменник не може дорівнювати нулю).
- Перевірка: x = 3 дає 4/1 = 4 ≥ 1.
Відповідь: x ∈ (2; +∞).
Приклад 3
Типові помилки
- Множити дробову нерівність на знаменник, не знаючи його знака.
- Зафарбовувати нулі знаменника в нестрогій нерівності.
- Чергувати знак під час переходу через нуль парної кратності.
- Губити ізольовані точки, як x = 2 у третьому прикладі.
- Не приводити множники до вигляду (x − a): знак на правому проміжку тоді визначають неправильно.