Математика · Рівняння та нерівності
Системи рівнянь: підстановка, додавання, симетричні системи
Розв’язок системи з двома змінними — це пара чисел (x; y), що задовольняє обидва рівняння. Лінійні системи розв’язують додаванням або підстановкою, а якщо одне рівняння другого степеня, то змінну виражають із лінійного рівняння й підставляють у квадратичне.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Що таке розв’язок і скільки їх буває
Кожне рівняння з двома змінними задає лінію на площині, тож розв’язки системи — це точки перетину ліній. Дві прямі перетинаються в одній точці, збігаються (безліч розв’язків) або паралельні (розв’язків немає). Пряма й коло чи парабола можуть мати два спільні розв’язки, один (дотик) або жодного.
Метод підстановки
- вирази одну змінну з простішого, зазвичай лінійного, рівняння;
- підстав отриманий вираз у друге рівняння й розв’яжи рівняння з однією змінною;
- знайди другу змінну за кожним знайденим значенням першої;
- запиши відповідь парами й перевір їх в обох рівняннях.
Метод додавання
Помнож рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними, і додай рівняння: змінна зникне. Метод добре працює для лінійних систем і для систем, де змінні входять у вигляді x² і y²: рівняння можна додавати чи віднімати.
Симетричні системи й теорема Вієта
Якщо система задана сумою й добутком невідомих, то x і y — корені квадратного рівняння t² − st + p = 0 (це випливає з теореми, оберненої до теореми Вієта). Розв’язавши його, записують дві пари: порядок значень має значення, тож (x; y) і (y; x) — різні розв’язки.
x + y = s, xy = p ⇒ t² − st + p = 0
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть систему: 2x + y = 7, 3x − y = 3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Додаємо рівняння: 5x = 10, отже x = 2.
- З першого рівняння y = 7 − 2 · 2 = 3.
- Перевірка: 3 · 2 − 3 = 3.
Відповідь: (2; 3).
Приклад 2
Розв’яжіть систему: x − y = 1, x² + y² = 25.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- З першого рівняння x = y + 1.
- Підставляємо: (y + 1)² + y² = 25, 2y² + 2y − 24 = 0, y² + y − 12 = 0, звідки y = 3 або y = −4.
- Тоді x = y + 1: x = 4 або x = −3.
- Перевірка: 4² + 3² = 25 і (−3)² + (−4)² = 25.
Відповідь: (4; 3) і (−3; −4).
Приклад 3
Розв’яжіть систему: x + y = 5, xy = 6.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
Типові помилки
- Відповідати окремими числами, а не парами (x; y).
- Знайти x і забути знайти y.
- Помилка в знаку під час підстановки виразу з дужками: x² − (11 − x), а не x² − 11 − x.
- Ділити рівняння на вираз зі змінною й губити розв’язки.
- Вважати пари (2; 3) і (3; 2) одним розв’язком: порядок змінних важливий.
- Не перевіряти знайдені пари в обох рівняннях.