Математика · Рівняння та нерівності
Квадратні рівняння: дискримінант, Вієта, неповні рівняння
Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) завжди розв’язується через дискримінант, але неповні рівняння й теорема Вієта часто дають відповідь швидше і з меншим ризиком помилки в обчисленнях.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Повне рівняння
D = b² − 4ac x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
Кількість коренів залежить лише від знака D. Якщо b парне, зручна формула з половинним коефіцієнтом: при b = 2k маємо D/4 = k² − ac і x = (−k ± √(D/4)) / a.
Неповні рівняння
- ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 або x = −b/a;
- ax² + c = 0 → x² = −c/a; коренів немає, якщо −c/a < 0;
- ax² = 0 → x = 0.
Теорема Вієта і розклад на множники
Для рівняння ax² + bx + c = 0 з коренями x₁, x₂: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Якщо корені цілі, їх часто видно одразу: для x² − 7x + 12 = 0 шукаємо два числа з сумою 7 і добутком 12 — це 3 і 4.
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Коли a + b + c = 0, один із коренів дорівнює 1, а другий — c/a.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Розв’яжіть рівняння 3x² − 5x + 2 = 0.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- a + b + c = 3 − 5 + 2 = 0, тож x₁ = 1.
- x₂ = c/a = 2/3. Перевірка через D: 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/6, тобто 1 і 2/3.
Відповідь: 1; 2/3.
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння 2x² − 18 = 0.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- x² = 9.
- x = 3 або x = −3.
Відповідь: −3; 3.
Приклад 3
Не розв’язуючи рівняння x² + 6x − 16 = 0, знайдіть суму квадратів його коренів.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- D = 36 + 64 > 0, корені існують. За Вієта x₁ + x₂ = −6, x₁x₂ = −16.
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 36 + 32 = 68.
Типові помилки
- Застосовувати теорему Вієта, не перевіривши, що D ≥ 0.
- Губити знак: −b у формулі коренів — це протилежне до b число.
- У рівнянні ax² + bx = 0 скорочувати на x і губити корінь 0.