Математика · Числа та вирази
Дроби й дії з ними: звичайні, десяткові, мішані числа
Усі дії з дробами зводяться до трьох прийомів: звести дроби до спільного знаменника, перемножити чисельники й знаменники, замінити ділення множенням на обернений дріб. Решта — вміти скорочувати й перевіряти результат грубою оцінкою.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Основні поняття
Дріб a/b має знаменник b ≠ 0. Якщо a < b, дріб правильний, інакше — неправильний, і його можна записати мішаним числом: 13/5 = 2 3/5, бо 2 · 5 + 3 = 13. Основна властивість дробу: a/b = (a · k)/(b · k) за k ≠ 0, тому дріб можна скорочувати на спільний дільник чисельника й знаменника. Скінченний десятковий дріб виходить із нескоротного дробу тоді, коли знаменник має лише прості дільники 2 і 5: 3/8 = 0,375, а 1/3 = 0,(3) — нескінченний періодичний дріб.
Корисні відповідники: 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 3/4 = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/8 = 0,125.
Дії з дробами
| Дія | Правило | Приклад |
|---|---|---|
| додавання, віднімання | спільний знаменник (найменше спільне кратне знаменників) | 1/6 + 3/4 = 2/12 + 9/12 = 11/12 |
| множення | чисельник на чисельник, знаменник на знаменник | 2/3 · 9/10 = 18/30 = 3/5 |
| ділення | множимо на обернений дріб | 3/4 : 9/8 = 3/4 · 8/9 = 2/3 |
| піднесення до степеня | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)³ = 8/27 |
Порядок дій такий самий, як у цілих чисел: дужки, степені, множення й ділення, потім додавання й віднімання. Перед множенням і діленням мішані числа переводять у неправильні дроби, а додавати й віднімати їх можна окремо за цілими та дробовими частинами.
Порівняння й оцінка
Щоб порівняти a/b і c/d (b, d > 0), достатньо порівняти добутки a · d і b · c: якщо a · d > b · c, то a/b > c/d. Десяткові дроби порівнюють за розрядами зліва направо, не забуваючи дописувати нулі: 0,5 більше за 0,45. Перед складним обчисленням корисно оцінити результат: 7/8 + 5/6 трохи менше за 2, тож відповідь 11/14 свідчить про помилку.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Обчисліть 3/4 + 5/6 − 1/3.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Найменше спільне кратне знаменників 4, 6 і 3 дорівнює 12.
- 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, 1/3 = 4/12.
- 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12 = 5/4 = 1 1/4.
Відповідь: 5/4, тобто 1 1/4.
Приклад 2
Обчисліть (2 1/3 · 1 4/5) : 3 1/2.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Переводимо в неправильні дроби: 2 1/3 = 7/3, 1 4/5 = 9/5, 3 1/2 = 7/2.
- 7/3 · 9/5 = 63/15 = 21/5.
- 21/5 : 7/2 = 21/5 · 2/7 = 42/35 = 6/5.
Відповідь: 6/5 = 1,2.
Приклад 3
Порівняйте дроби 7/9 і 5/7.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Перемножуємо навхрест: 7 · 7 = 49 і 5 · 9 = 45.
Типові помилки
- Додавати чисельники й знаменники окремо: 1/2 + 1/3 не дорівнює 2/5, а дорівнює 5/6.
- Множити мішане число «по частинах»: 2 1/3 · 3 не дорівнює 2 · 3 + 1/3.
- Скорочувати доданки замість множників: у виразі (2 + 6)/2 не можна «скоротити» двійки.
- Під час ділення на дріб не перевертати дільник.
- Плутати 0,5 і 0,05: кількість нулів після коми визначає знаменник 10, 100, 1000.