Математика · Числа та вирази
Логарифми: означення, властивості, найпростіші рівняння
Логарифм logₐb — це показник степеня, до якого треба піднести основу a, щоб отримати b. Усі властивості логарифмів випливають із цього означення, а задачі НМТ зводяться до двох дій: спростити вираз за властивостями й не втратити область допустимих значень.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Означення й умови існування
Рівність logₐb = c означає, що aᶜ = b. Щоб вираз мав зміст, потрібні три умови: основа a > 0, a ≠ 1 і аргумент b > 0. Логарифм за основою 10 називають десятковим і пишуть lg b, а за основою e ≈ 2,718 — натуральним і пишуть ln b.
| Тотожність | Приклад |
|---|---|
| logₐ1 = 0 | log₇1 = 0 |
| logₐa = 1 | log₅5 = 1 |
| logₐaⁿ = n | log₂32 = 5 |
| a^(logₐb) = b (основна логарифмічна тотожність) | 7^(log₇4) = 4 |
Щоб знайти logₐb, спитай себе: у який степінь треба піднести a, щоб вийшло b?
Властивості логарифмів
logₐ(bc) = logₐb + logₐc logₐ(b/c) = logₐb − logₐc logₐbⁿ = n · logₐb log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐb logₐb = log_c b / log_c a
Формули записано для b > 0 і c > 0. Якщо аргументи можуть бути від’ємними, формулу добутку застосовують обережно: log₂((−4)·(−8)) існує й дорівнює log₂32 = 5, а сума log₂(−4) + log₂(−8) не має змісту. З тієї самої причини logₐx² = 2 · logₐ|x|, а не 2 · logₐx.
Логарифмічні рівняння
- запиши ОДЗ: усі аргументи логарифмів додатні, основа додатна й не дорівнює 1;
- зведи рівняння до вигляду logₐ f(x) = c або logₐ f(x) = logₐ g(x);
- перейди до аргументів: f(x) = aᶜ або f(x) = g(x);
- розв’яжи отримане рівняння й перевір, чи належать корені ОДЗ.
Перевірка потрібна, бо злиття двох логарифмів в один розширює область визначення: вираз log₂(x(x − 2)) існує й за x < 0, а сума log₂x + log₂(x − 2) — лише за x > 2. Саме тут з’являються сторонні корені.
У нерівностях основа вирішує все: якщо a > 1, знак нерівності між аргументами зберігається, а якщо 0 < a < 1 — змінюється на протилежний. Про ОДЗ нагадувати не доведеться, якщо записати її першою.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Обчисліть log₆4 + log₆9.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Основи однакові, тож додаємо логарифми як логарифм добутку: log₆(4 · 9) = log₆36.
- 6² = 36, отже log₆36 = 2.
Відповідь: 2.
Приклад 2
Обчисліть 25^(log₅3).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Запишемо 25 = 5², тоді 25^(log₅3) = (5²)^(log₅3) = (5^(log₅3))².
- За основною логарифмічною тотожністю 5^(log₅3) = 3.
- Отже, вираз дорівнює 3² = 9.
Відповідь: 9.
Приклад 3
Обчисліть log₄32.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Перейдемо до основи 2: log₄32 = log₂32 / log₂4.
- log₂32 = 5, log₂4 = 2, тож результат 5/2 = 2,5.
Типові помилки
- Вважати, що log(b + c) = log b + log c: сума під знаком логарифма не розкладається.
- Забувати про ОДЗ і залишати сторонній корінь, як x = −2 у прикладі вище.
- Не змінювати знак нерівності, коли основа логарифма лежить між 0 і 1.
- Плутати logₐb і log_b a: вони обернені одне до одного, а не рівні.
- Писати logₐx² = 2 · logₐx без умови x > 0.