Математика · Числа та вирази
Пропорції й задачі на частини: відношення, пряма й обернена пропорційність
Відношення a : b показує, у скільки разів a більше за b, а рівність двох відношень — пропорція. Більшість задач на частини розв’язують так: додають числа відношення, знаходять одну частину й множать її на потрібне число.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Пропорція та її властивість
Пропорція a : b = c : d рівносильна рівності добутків крайніх і середніх членів: ad = bc. Звідси невідомий член знаходять за правилом «навхрест»: x : 6 = 10 : 4 дає x = 6 · 10 / 4 = 15. Величини прямо пропорційні, якщо їхнє відношення стале (y = kx): збільшення однієї в кілька разів збільшує другу в стільки ж. Вони обернено пропорційні, якщо стали їхній добуток (y = k/x): більше виконавців — менше днів роботи.
Поділ у заданому відношенні
Якщо величину S ділять у відношенні m : n, то всього частин m + n, одна частина дорівнює S/(m + n), а шукані частини — S · m/(m + n) і S · n/(m + n). Відношення 2 : 3 не означає 2/3 і 1/3: це 2/5 і 3/5 цілого.
одна частина = S/(m + n) перша частина = m · S/(m + n), друга = n · S/(m + n)
Якщо задано відношення a : b і b : c, їх зводять до спільного члена b, щоб отримати відношення трьох величин a : b : c. Масштаб карти 1 : 50 000 означає, що 1 см на карті відповідає 50 000 см = 500 м на місцевості.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Сплав міді й цинку масою 54 кг містить ці метали у відношенні 5 : 4. Скільки кілограмів міді в сплаві?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Усього частин 5 + 4 = 9, одна частина: 54 : 9 = 6 кг.
- Міді 5 частин: 5 · 6 = 30 кг, цинку 4 · 6 = 24 кг.
- Перевірка: 30 + 24 = 54.
Відповідь: 30 кг.
Приклад 2
Задано a : b = 2 : 3 і b : c = 4 : 5. Знайдіть відношення a : b : c, а також самі числа, якщо їхня сума 175.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Зводимо до спільного b: найменше спільне кратне чисел 3 і 4 дорівнює 12.
- a : b = 8 : 12, b : c = 12 : 15, отже a : b : c = 8 : 12 : 15.
- Сума частин 8 + 12 + 15 = 35, одна частина 175 : 35 = 5.
- a = 40, b = 60, c = 75.
Відповідь: 8 : 12 : 15; числа 40, 60, 75.
Приклад 3
Типові помилки
- Ділити величину у відношенні m : n на m і n частин замість m + n частин.
- Плутати пряму й обернену пропорційність: у прямій стале відношення, в оберненій — добуток.
- Вважати, що відношення 2 : 3 означає 2/3 і 1/3 цілого.
- У масштабі не переводити сантиметри в метри й кілометри.
- Порівнювати відношення величин різних одиниць, не привівши їх до однакових.