Математика · Числа та вирази
Комбінаторика, ймовірність і статистика: формули та типові задачі
Задачі цього розділу розв’язують за одним планом: з’ясувати, чи важливий порядок вибору, підставити потрібну формулу й, якщо йдеться про ймовірність, поділити кількість сприятливих результатів на кількість усіх рівноможливих. Окремо — чотири вибіркові характеристики: середнє, мода, медіана й розмах.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Правила суми й добутку
Якщо подію A можна здійснити m способами, а подію B — n способами, причому вони не можуть відбутися разом, то «A або B» можна здійснити m + n способами (правило суми). Якщо спершу обирають елемент A (m способів), а потім незалежно від цього — B (n способів), то обидва вибори разом можна зробити m · n способами (правило добутку).
Слово «або» підказує додавання, а послідовний вибір («і те, і те») — множення.
Перестановки, розміщення, комбінації
| Що рахуємо | Порядок важливий? | Формула | Приклад |
|---|---|---|---|
| перестановки Pₙ | так, беремо всі n елементів | n! = 1 · 2 · … · n | P₄ = 4! = 24 |
| розміщення Aₙᵏ | так, беремо k із n | n! / (n − k)! | A₅² = 5 · 4 = 20 |
| комбінації Cₙᵏ | ні, беремо k із n | n! / (k! · (n − k)!) | C₅² = 10 |
Корисно пам’ятати: Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!, Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ, 0! = 1. Щоб вибрати формулу, спитай: чи змінює задачу перестановка вибраних елементів місцями? Якщо так (пароль, призові місця, числа з різних цифр) — це розміщення; якщо ні (склад команди, вибір двох предметів) — комбінації. Усі ці формули стосуються вибору без повторень.
Класична ймовірність
Ймовірність (у програмі також — імовірність) випадкової події A дорівнює відношенню кількості m результатів, що сприяють події, до кількості n усіх рівноможливих результатів.
P(A) = m/n, 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(не A) = 1 − P(A)
Ймовірність неможливої події дорівнює 0, достовірної — 1. Прийом «від протилежного» часто швидший: ймовірність «принаймні один» рахують як 1 мінус ймовірність «жодного». Головне — правильно описати рівноможливі результати: під час кидання двох кубиків це 36 упорядкованих пар, а не 21 невпорядкована.
Вибіркові характеристики
| Характеристика | Як знайти |
|---|---|
| середнє значення | сума всіх значень, поділена на їх кількість |
| мода | значення, що трапляється найчастіше (їх може бути кілька або жодного) |
| медіана | значення посередині впорядкованого ряду; за парної кількості — півсума двох середніх |
| розмах | різниця найбільшого й найменшого значень |
Медіана, на відміну від середнього, майже не реагує на окремі дуже великі чи малі значення: у ряду 1, 2, 3, 100 середнє дорівнює 26,5, а медіана — 2,5.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Скільки різних трицифрових чисел без повторення цифр можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Порядок цифр важливий, вибираємо 3 цифри з 5: A₅³.
- A₅³ = 5 · 4 · 3 = 60 (п’ять варіантів для сотень, чотири для десятків, три для одиниць).
Відповідь: 60.
Приклад 2
З 12 учнів треба обрати команду з трьох осіб. Скількома способами це можна зробити?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Порядок неважливий, тому C₁₂³ = 12! / (3! · 9!).
- C₁₂³ = (12 · 11 · 10) / (1 · 2 · 3) = 1320 / 6 = 220.
Відповідь: 220.
Приклад 3
У коробці 5 червоних, 3 синіх і 2 зелені кулі. Яка ймовірність витягти навмання кулю, що не є синьою?
Типові помилки
- Застосовувати комбінації там, де порядок важливий, і навпаки.
- Додавати замість множення під час послідовного вибору.
- Вважати результатами кидання двох кубиків 21 невпорядковану пару: вони не рівноможливі, пара (2; 6) трапляється вдвічі частіше, ніж (4; 4).
- Отримати ймовірність, більшу за 1, і не помітити помилки в підрахунку.
- Шукати медіану в неупорядкованому ряду.
- Плутати моду з найбільшим значенням, а середнє — з медіаною.