Математика · Числа та вирази
Степені та корені: властивості, раціональний показник, ірраціональні вирази
Корінь і степінь — два записи однієї дії: ⁿ√a = a^(1/n) для a ≥ 0. Якщо записати вираз через степені з раціональним показником, для його спрощення вистачає п’яти правил, а від ірраціональності в знаменнику позбуваються, множачи на спряжений вираз.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Степінь із цілим і раціональним показником
Для натурального n маємо aⁿ = a · a · … · a (n множників). Далі означення розширюють: a⁰ = 1 і a⁻ⁿ = 1/aⁿ за a ≠ 0, а a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) за a > 0 (n ≥ 2 — натуральне). Умова a > 0 для дробового показника принципова: вона гарантує, що властивості степенів працюють без винятків.
| Правило | Приклад |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3² · 3⁵ = 3⁷ |
| aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1000 |
| (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
Основи не перемножують: 2³ · 2⁴ = 2⁷, а не 4⁷. Показники додаються лише за однакових основ.
Корінь n-го степеня
Арифметичний корінь n-го степеня з числа a ≥ 0 — це невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює a. Корінь непарного степеня існує й для від’ємного числа: ³√(−8) = −2. Для кореня парного степеня ⁿ√(aⁿ) = |a|, для непарного — ⁿ√(aⁿ) = a.
ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
Ці формули записано для a ≥ 0 і b > 0. Щоб винести множник з-під кореня, виділяють у підкореневому числі повний квадрат: √72 = √(36 · 2) = 6√2.
Ірраціональність у знаменнику
Дріб зручніше скорочувати й порівнювати, коли знаменник раціональний. Для знаменника √a чисельник і знаменник множать на √a, а для суми чи різниці коренів — на спряжений вираз, бо (√a − √b)(√a + √b) = a − b.
1/√a = √a / a 1/(√a − √b) = (√a + √b) / (a − b)
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Обчисліть 16^(3/4) − 8^(2/3) + (1/9)^(−1/2).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.
- 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
- (1/9)^(−1/2) = 9^(1/2) = 3.
- 8 − 4 + 3 = 7.
Відповідь: 7.
Приклад 2
Спростіть √18 + √50 − √8.
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- √18 = √(9 · 2) = 3√2; √50 = √(25 · 2) = 5√2; √8 = √(4 · 2) = 2√2.
- 3√2 + 5√2 − 2√2 = 6√2.
Відповідь: 6√2.
Приклад 3
Позбудьтеся ірраціональності в знаменнику дробу 6/(√5 − √2).
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Множимо чисельник і знаменник на спряжений вираз √5 + √2.
Типові помилки
- Перемножувати основи замість додавання показників: 2³ · 2⁴ не дорівнює 4⁷.
- Вважати, що √(a + b) = √a + √b. Перевір: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.
- Писати √(a²) = a без модуля: для a = −3 маємо √9 = 3, а не −3.
- Застосовувати дробовий показник до від’ємної основи: вираз (−8)^(1/3) не розглядають, тоді як ³√(−8) = −2 має зміст.
- Залишати корінь у знаменнику й потім «скорочувати» доданки замість множників.