Математика · Числа та вирази
Відсотки: від простих задач до складних відсотків
Майже всі задачі на відсотки розв’язуються однією дією: множенням на коефіцієнт. Знижка 15 % — це множення на 0,85, підвищення на 8 % — на 1,08. Решта — вміння вибрати, від чого рахувати відсоток.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Три базові задачі
| Що треба знайти | Як рахувати | Приклад |
|---|---|---|
| p % від числа a | a · p/100 | 15 % від 240 = 36 |
| число, p % якого дорівнюють b | b : (p/100) | 12 — це 30 % від 40 |
| скільки відсотків b становить від a | b/a · 100 % | 18 від 72 — це 25 % |
Спершу визнач, яка величина прийнята за 100 %. Саме від неї рахується відсоток.
Зміна у відсотках
Якщо величина змінилася з a на b, то зміна у відсотках дорівнює (b − a)/a · 100 %. Знаменник — стара величина. Тому «b більше за a на 25 %» і «a менше за b на 25 %» — різні твердження: якщо a = 80, b = 100, то b більше за a на 25 %, а a менше за b на 20 %.
Послідовні зміни і складні відсотки
Кожна наступна зміна рахується від нової величини, тому коефіцієнти перемножуються. Банківський вклад під r % річних із капіталізацією через n років дає:
S = S₀ · (1 + r/100)ⁿ
Проста схема без капіталізації додає щороку ту саму суму: S = S₀ · (1 + n · r/100). На НМТ умова завжди вказує, яка схема діє; якщо сказано, що відсотки нараховуються на суму з попередніми нарахуваннями, — це складні відсотки.
Суміші й концентрація
Концентрація — частка речовини в суміші. Корисна дія — рахувати масу чистої речовини: у 200 г 15-відсоткового розчину її 30 г. Під час змішування додаються маси речовини й маси розчинів, а не відсотки.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Вклад 10 000 грн поклали під 10 % річних з капіталізацією. Скільки буде на рахунку через 2 роки?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Щороку сума множиться на 1,1.
- 10 000 · 1,1² = 10 000 · 1,21 = 12 100.
Відповідь: 12 100 грн.
Приклад 2
Змішали 200 г 15-відсоткового і 300 г 10-відсоткового розчину солі. Яка концентрація суміші?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Солі в першому розчині: 200 · 0,15 = 30 г; у другому: 300 · 0,1 = 30 г.
- Разом 60 г солі у 500 г розчину.
- 60/500 = 0,12.
Відповідь: 12 %.
Приклад 3
Після знижки на 15 % куртка коштує 1700 грн. Скільки вона коштувала до знижки?
Показати розв’язання
Типові помилки
- Рахувати відсоток від нової ціни, коли в умові йдеться про стару.
- Віднімати відсоток від відсотка: після знижки на 15 % ціна становить 85 %, а не «−15 грн».
- Під час змішування розчинів усереднювати відсотки, не зважаючи на маси.