Фізика · Молекулярна фізика й термодинаміка
Газові закони й перший закон термодинаміки: ізопроцеси та робота газу
Стан ідеального газу описують тиск, об’єм і температура, а рівняння стану pV = νRT зв’язує їх між собою. Щоб знайти роботу газу, зміну внутрішньої енергії й теплоту, перший закон термодинаміки Q = ΔU + A застосовують до кожного ізопроцесу окремо.
Авторський матеріал Тями · оновлено
Рівняння стану й ізопроцеси
pV = (m/M) · RT = νRT, p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ (m = const) T = t + 273, R ≈ 8,31 Дж/(моль·К)
| Процес | Що стале | Закон | Графік у координатах p–V |
|---|---|---|---|
| ізотермічний | T | p₁V₁ = p₂V₂ | гіпербола |
| ізобарний | p | V₁/T₁ = V₂/T₂ | горизонтальний відрізок |
| ізохорний | V | p₁/T₁ = p₂/T₂ | вертикальний відрізок |
| адіабатний | теплообміну немає (Q = 0) | змінюються всі три параметри | крутіша за ізотерму |
Температуру в газових законах завжди беруть у кельвінах: T = t + 273. Зміна температури на 1 К дорівнює зміні на 1 °C.
Закони ізопроцесів носять імена Бойля — Маріотта (T = const), Гей-Люссака (p = const) і Шарля (V = const).
Перший закон термодинаміки
Q = ΔU + A ΔU = (3/2) · νRΔT (одноатомний ідеальний газ) A = p · ΔV (p = const)
Тут Q — теплота, отримана газом, A — робота, яку виконав газ. Якщо роботу виконують над газом, A від’ємна. Робота газу дорівнює площі під графіком p(V).
| Процес | Робота газу A | Зміна внутрішньої енергії ΔU | Теплота Q |
|---|---|---|---|
| ізохорний | 0 | (3/2) · νRΔT | дорівнює ΔU |
| ізобарний | pΔV = νRΔT | (3/2) · νRΔT | ΔU + A = (5/2) · νRΔT |
| ізотермічний | дорівнює Q | 0 | дорівнює A |
| адіабатний | −ΔU | (3/2) · νRΔT | 0 |
Теплова машина
η = A/Q_н = (Q_н − Q_х)/Q_н · 100 % η_max = (T_н − T_х)/T_н · 100 %
Величина η_max обмежує ККД будь-якої теплової машини з температурою нагрівача T_н і холодильника T_х. Реальна машина завжди працює з меншим ККД.
Розібрані приклади
Спробуй розв’язати сам, а потім відкрий розв’язання. Це авторські приклади, а не завдання з тренувань.
Приклад 1
Газ у посудині об’ємом 2 л за температури 27 °C має тиск 150 кПа. Його нагріли за сталого об’єму до 127 °C. Який тиск став?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- T₁ = 27 + 273 = 300 К, T₂ = 127 + 273 = 400 К.
- Ізохорний процес: p₂ = p₁ · T₂/T₁ = 150 · 400/300 = 200 кПа.
Відповідь: 200 кПа.
Приклад 2
Повітря в насосі об’ємом 600 см³ ізотермічно стискають до 150 см³. Початковий тиск 100 кПа. Який тиск у кінці стиснення?
Показати розв’язанняСховати розв’язання
- Ізотермічний процес: p₁V₁ = p₂V₂.
- p₂ = p₁ · V₁/V₂ = 100 · 600/150 = 400 кПа.
Відповідь: 400 кПа.
Приклад 3
Два моль одноатомного ідеального газу нагріли на 50 К за сталого тиску. Знайдіть роботу газу, зміну внутрішньої енергії та отриману теплоту (R ≈ 8,31 Дж/(моль·К)).
Типові помилки
- Підставляти температуру в градусах Цельсія в рівняння стану й газові закони.
- Вважати, що в ізотермічному процесі газ не обмінюється теплотою: усю отриману теплоту він витрачає на роботу.
- Рахувати роботу газу як pΔV за змінного тиску: тоді потрібна площа під графіком.
- Ігнорувати знаки: робота над газом і теплота, віддана газом, від’ємні.
- Вважати, що під час адіабатного розширення газ нагрівається: він охолоджується, бо виконує роботу за рахунок внутрішньої енергії.
- Отримувати ККД, більший за максимальний для заданих температур.